LIVRE IL

prend une forme très simple. Alors la fonction arbitraire r(^~^^~

2 ri

de la formule (A) est de la forme kc \ '^"^' y . Pour déterminer les constantes € et k, nous observerons qu'en supposant

on aura

U = /rc ^^^ jase \ i + ê / .

En faisant ensuite

et observant que l'intégrale relative à s devant être prise depuis 5 = — Qo jusqu'à 5 = 00 , l'intégrale relative à s' doit être prise dans les mêmes limites, on aura

En comparant cette expression à la valeur initiale de U, qui est et observant que ê est la valeur initiale de ê', on aura

d'où l'on tire

|2 ' l'ac*'-'

On doit avoir ensuite

y/i 4- ê ^mz

ce qui donne

VnTT

valeur que l'on obtient encore par la condition que ^/U d^>jn=^\y l'in-

tégrale étant prise depuis f/. = — oo jusqu'à [x — co ; on aura donc, pour l'expression de U, quel que soit /,

On trouve, en effet, que cette valeur de U, substituée dans l'équation aux différentielles partielles en U, y satisfait.

ê' diminuant sans cesse quand r' augmente, la valeur de U varie sans cesse et devient à sa limite, lorsque r' est infini,

Pour donner une application de ces formules, imaginons, dans une urne C, un très grand nombre m de boules blanches et un pareil nombre de boules noires. Ces boules ayant été mêlées, supposons que l'on tire de l'urne n boules, que l'on met dans l'urne A. Supposons ensuite que l'on mette dans l'urne B autant de boules blanches qu'il y a de boules noires dans l'urne A, et autant de boules noires qu'il y a de boules blanches dans la même urne. Il est clair que le nombre des cas dans lesquels il y aura x boules blanches, et par conséquent n — ce boules noires dans l'urne A, est égal au produit du nombre des combinaisons des m boules blanches de l'urne C, prises a^hx, par le nombre des combinaisons des m boules noires de la même urne, prises n — x h n — X. Ce produit est, par le n° 3, égal à

ou à

Le nombre de tous les cas possibles est le nombre des combinaisons des 2m boules de l'urne C, prises rikn; ce nombre est