i)iH('V^ . . ^^, r^ (h^ ^ ^>'-0(^/^)^
En étendant l'intégrale depuis {;, = — oo jusqu'à pt, = oo , ce terme devient
i.3.5...(2^-i)^H('")7r \[nV ■ i[i-^) ^'j/ - i) (f - 2;
Le facteur i — t -f- — — ~ — ... est égal à (i — i)'; il est donc nul, excepté dans le cas de t = o, où il se réduit à l'unité. Il est visible que les termes de l'expression de U qui renferment des puissances impaires de p- donnent un résultat nul dans l'intégrale ^J\}diJ.\ln, étendue depuis (y. = — 00 jusqu'à (;. — Qo ; car ces termes ont pour facteur c~^\ et l'on a généralement dans ces limites
Il n'y a donc que le premier terme de l'expression de U, terme que nous représenterons par ^c~^\ qui puisse donner un résultat dans l'intégrale i/Uc?[J!.Y^, et ce résultat est^H^/iTc; on a donc
par conséquent,
L'expression générale de U a ainsi la forme suivante
Q(*\ Qf2), ..., l,w^ U*)^ ... étant des constantes indéterminées, qui dépendent de la valeur initiale de U.
OEucres de L. — VU. ' 38
Supposons que U devienne X lorsque r est nul, X étant une fonction donnée de [a. On a généralement ces deux théorèmes,
lorsque ^est moindre que i; U, et U| étant des fonctions de f/., par les-
quelles -7^^ et :^r: sont multiplies dans l expression de U.
Pour démontrer ces théorèmes, nous observerons que, par ce qui précède, -^ -p=.— est égal a
il faut donc faire voir que l'on a
o z= J f p.'ii ds dii c-!^'-^'(ix -4- s v/— i)^',
les intégrales étant prises depuis [j. et s égaux à — 00 jusqu'à ja et s égaux à -h oo . En intégrant d'abord par rapport à p-, ce terme devient
"^B^Zl ffij.^-1-2 dix ds c-i^'--^' iii-hs ^'^Y'
-H iffix^i-^diJL ds c-i^'-^'(jM + s s/'^Y''' .
En continuant d'intégrer ainsi par parties relativement à (x, on parvient enfin à des termes de la forme
kffdiidsc-v-'~^'(lj.-\-ssl'^iY%
e n'étant pas zéro, et, par ce qui précède, ces termes sont nuls. On prouvera de la même manière que l'on a
o = LC'/i^^*"^' ^'/^u; c-v-\
De là il suit que l'on a généralement
o = / U/ u,7 rf^ c-v-\ o = / u; u;. d^i c-v-\
i et i' étant des nombres différents. Car si, par exemple, i' est plus grand
que i, toutes les puissances de [l dans U, sont moindres que 21'; chacun des termes de U, donnera donc, par ce qui précède, un résultat nul dans l'intégrale fV^iU^diLC-'^'. Le même raisonnement a lieu pour l'intégrale fU.U'.diLC-^'.
Mais ces intégrales ne sont pas nulles, lorsque i = i'. On les obtiendra dans ce cas de cette manière. On a, par ce qui précède,
i .3.5. . .{21 — i) s/n Le terme qui a pour facteur jx^' dans cette expression est
,3.5...{az— i)'
or on peut ne considérer que ce terme dans le premier facteur U/ de l'intégrale /U/U,<i'(AC~'^'; car les puissances inférieures de ix, dans ce facteur, donnent un résultat nul dans l'intégrale. On a donc
fUiVidix-c-V-'-
-^ //^2' d^i ds c-v-'-s' ( ^ + 5 y/ I )^
[i.3.5...(2/-i)Pv^7r'
On a, en intégrant par rapport à [t., depuis {/, = — ce jusqu'à {/. = 00 ,
ffix^'dix ds c-\>-'-s'{{x + s s/^)"'
= ^^—^ ffli^'-^ dfx ds c-v-'-s' {[x-^s v/=T)''
-h^ff[x^^-*dixdsc-V-'-s^{lx^ss/-iY'~\
Le premier terme du second membre de cette équation est nul par ce qui précède; ce membre se réduit donc à son second terme. On trouve de la même manière que l'on a
ff[i^'-^ dy^ds c-V-'-s'iii + s sl^Y'-^
et ainsi de suite; on a donc
par conséquent,
/•TT TT 7 ,12 2.4.6. . ,2i s/tT
On trouvera de la même manière
I 2.4.6. . .2/ v/tt
f\^'i\}'idiic-v-'
On a évidemment
S\}iV'rdif.c-\>-'z=o,
dans le cas même où i et i' sont égaux, parce que le produit UjUi. ne contient que des puissances impaires de \l.
Cela posé, l'expression générale de U donne, pour sa valeur initiale, que nous avons désignée par X,
snv:
Si l'on multiplie cette équation par U, â?{x, et si l'on prend les intégrales depuis (j, = — Qo jusqu'à (x = oo , on aura, en vertu des théorèmes précédents,
/X U, du. = -^ QC)/ U, Mi d[jL c-\>-\
s/nTc
d'où l'on tire
on trouvera, de la même manière,
On aura donc ainsi les valeurs successives de Q^'', Q^^\ ..., L^*'^ V*K ..., au moyen d'intégrales définies, lorsque X ou la valeur initiale de U sera donnée.
Dans le cas où X est égal à -=^c~^'^\ l'expression générale de U
