LIVRE II

l'unité, on 3idx'=^ -î on aura

/?(^j =afdx'c^{x').

Nommons, comme dans les numéros précédents, k l'intégrale 2fdx'(p[œ'), prise depuis^' nul jusqu'à sa valeur positive extrême; nommons pareillement k" l'intégrale fx'^ dx', prise dans les mêmes limites, et ainsi de suite; nous aurons

CJ*

Le logarithme du second membre de cette équation est

k" , , , kk'' — 6h"'' , . , , ,

ak ou lajdx' <^{x') exprime la probabilité que l'erreur de chaque observation sera comprise dans ses limites, ce qui est certain; on a donc ak=^\\ ce qui réduit le logarithme précédent à

k" , , , kk^^-^k'"^ , , , k \ik^

De là il est aisé de conclure que le produit

2/cp( - I cos/n^cyX 2/9 ( - J cos/n('^;ircj X - . .X 2/cp ( - | ces /«(•'" "jcra

est

kh^ — Ç^k"^ . .^ ,.-.. \ -Ça'CT'SmO

/ kk'^-6k"^ . ,a .w \

l'intégrale précédente (i) se réduit donc à

aTT-^ \ I2A-2 /

En faisant sa^vj^ = i^, cette intégrale devient

, / kk^--6k"^ ^m(')^ . \ -'Ay^-i's^,.

OEuvres de L. — VU, 41

Sm^'^^, Sm^'^\ ... sont évidemment des quantités de l'ordre s; ainsi — - — est de l'ordre -; en négligeant donc les termes de ce dernier ordre vis-à-vis de l'unité, la dernière intégrale se réduit à

y.an \s

L'intégrale relative à cy devant être prise depuis t^ = — tt jusqu'à ny = tt, l'intégrale relative à t doit être prise depuis t = — ai: \Js jusqu'à t^ar:\ls,ei dans ces cas l'exponentielle sous le signe / est insensible à ces deux limites, soit parce que s est un grand nombre, soit parce que a est ici supposé divisé dans une infinité de parties prises pour unité ; on peut donc prendre l'intégrale depuis ^ = — » jusqu'à z = » . Faisons

V hs V 2arSm(')V'

la fonction intégrale précédente devient

Jdt'c-''\

ki^

Q ♦*"a«SmW«

Ik"

L'intégrale relative à t' doit être prise, comme l'intégrale relative à t, depuis i' = — 00 jusqu'à t'=^ , ce qui réduit la quantité précédente à celle-ci.

t*"a»Sm(0»

SmCJa

Si l'on fait l = ar\/s et si l'on observe que, la variation de / étant l'unité, on a <2 6/r= I, on aura

fdrc

Sm(')2