LIVRE II

pour la probabilité que la fonction [m) sera comprise dans les limites zéro et arsjsy l'intégrale étant prise depuis rnul.

Nous avons besoin ici de connaître la probabilité de l'erreur u de l'élément déterminé en faisant nulle la fonction [m). Cette fonction étant supposée égale à /ou à ar y'*, on aura, par ce qui précède,

u^m^^^p^^^ = ars/s;

en substituant cette valeur dans la fonction intégrale précédente, elle devient

Ak'( s m(') ;)('))'

fduc

Sm('> /?('■) ^^^^ 4A"a»Sm(.> .

Sm(')2

c'est l'expression de la probabilité que la valeur de u sera comprise dans les limites zéro et u, c'est aussi l'expression de la probabilité que u sera compris dans les limites zéro et — u. Si l'on fait

la probabilité précédente devient

Maintenant, la probabilité restant la même, / reste le même, et l'inter-

valle des deux limites de u se resserre d'autant plus que a i /-r- !; ^

est plus petit. Cet intervalle restant le même, la valeur de t, et par conséquent la probabilité que l'erreur de l'élément tombe dans cet inter-

valle, est d'autant plus grande que la même quantité «1/7- ^ — j^-j-s

est plus petite; il faut donc choisir le système de facteurs m('\ qui rend cette quantité un minimum; et comme a, k, k" sont les mêmes dans

tous ces systèmes, il faut choisir le système qui rend ^ ^ ^.^ un mi-

Sw(');>(

nimum,

On peut parvenir au même résultat de cette manière. Reprenons l'expression de la probabilité que u sera compris dans les limites zéro et u. Le coefficient de du dans la difFérentielle de cette expression est l'ordonnée de la courbe des probabilités des erreurs u de l'élément, erreurs représentées par l'abscisse u de cette courbe, que l'on peut étendre à l'infini de chaque côté de l'ordonnée qui répond à u nul. Cela posé, toute erreur, soit positive, soit négative, doit être considérée comme un désavantage ou une perte réelle, à un jeu quelconque; or, par les principes de la théorie des probabilités, exposés au commencement de ce Livre, on évalue ce désavantage en prenant la somme de tous les produits de chaque désavantage par sa probabilité; la valeur moyenne de l'erreur à craindre en plus est donc la somme des produits de chaque erreur par sa probabilité; elle est par conséquent égale à l'intégrale

S/n(')2 prise depuis u nul jusqu'à u infini; ainsi cette erreur est

k^ y/S m(^")a Ta: Sm(^)p('^

Cette quantité, prise avec le signe —, donne l'erreur moyenne à craindre en moins. U est visible que le système des facteurs m^'^ qu'il faut choisir doit être tel que ces erreurs soient des minima et par con-

sequent tel que ^—jiFTô ^^^* ^^ minimum.

Si l'on différentie cette fonction par rapport à m''\ on aura, en égalant sa différentielle à zéro, par la condition du minimum,

Sm(02 — s m(') /,('•) •

Cette équation a lieu, quel que soit i, et, comme la variation de i ne fait

point changer la fraction ^ — iiyij)^ ^" nommant [a cette fraction, on

aura

et l'on peut, quels que soient /?,7?^'\ ..., prendre jx tel que les nombres m, m^*\ ... soient des nombres entiers, comme l'analyse précédente le suppose. Alors on a

Sp(^y' '

et l'erreur moyenne à craindre devient

Jk"

C'est, dans toutes les hypothèses que l'on peut faire sur les facteurs m, m^^\ ..., la plus petite erreur moyenne possible.

Si l'on fait les valeurs de w, m^'\ ... égales à ± i, l'erreur moyenne à craindre sera plus petite lorsque le signe ± sera déterminé, de manière que m^'^/?^'^ soit positif, ce qui revient à supposer i=/n=m<*^ = ..., et à préparer les équations de condition, de sorte que le coefficient de z dans chacune d'elles soit positif; c'est ce que l'on fait dans la méthode ordinaire. Alors le résultat moyen des observations est

et l'erreur moyenne à craindre en plus ou en moins est

/Fi

mais cette erreur surpasse la précédente, qui, comme on l'a vu, est la plus petite possible. On peut s'en convaincre d'ailleurs de cette manière. Il suffit de faire voir que l'on a l'inégalité

Jl > L-

En effet, 2/?/?''^ est moindre que p^ H- /?^'^^, puisque (/?''^ — p)^ est une quantité positive; on peut donc, dans le second membre de l'inégalité précédente, substituer, pour Q:pp^^\ p^ + p^*^^ —/, /étant une quantité positive. En faisant des substitutions semblables pour tous les produits semblables, ce second membre sera égal au premier, moins une quantité positive.

Le résultat

auquel correspond le minimum d'erreur moyenne k craindre, est celui que donne la méthode des moindres carrés des erreurs des observations; car, la somme de ces carrés étant

la condition du minimum de cette fonction, en faisant varier s, donne pour cette variable l'expression précédente; cette méthode doit donc être employée de préférence, quelle que soit la loi de facilité des er-

reurs, loi dont dépend le rapport -r--

Ce rapport est ^, si <^{cc) est une constante ; il est moindre que ^, si <p(a?) est variable, et tel qu'il diminue à mesure que a^ augmente, comme il est naturel de le supposer. En adoptant la loi moyenne des erreurs, que

nous avons donnée dans le n° 15 et suivant laquelle <p(^) est égal à

1 I a — log-> on a

Quant aux limites ±: a, on peut prendre pour ces limites les écarts du résultat moyen, qui feraient rejeter une observation.

Mais on peut, par les observations mêmes, déterminer le facteur

ai /y de l'expression de l'erreur moyenne. En effet, on a vu, dans le