LIVRE II. 32t

numéro précédent, que la somme des carrés des erreurs des observalions est à très peu près 25 -x-» et que, si elles sont en grand nombre,

il devient extrêmement probable que la somme observée ne s'écartera pas de cette valeur d'une quantité sensible; on peut donc les égaler; or la somme observée est égale à Se^'^^ ou à S(/)^'^s — «^'^)% en substituant pour z sa valeur -§-j^i on trouve ainsi

L'expression précédente de l'erreur moyenne à craindre sur le résultat z devient alors

expression dans laquelle il n'y a rien qui ne soit donné par les observations et par les coefficients des équations de condition,

21. Supposons maintenant que l'on ait deux éléments à corriger par l'ensemble d'un grand nombre d'observations. En nommant z et z' les corrections respectives de ces éléments, on formera, comme dans le numéro précédent, des équations de condition, qui seront comprises dans cette forme générale

£{'■) = pi^z -+- q^i) z' — a('^

6^'^ étant, comme dans ce numéro, l'erreur de l'observation (i -h i)'*^"'^. Si l'on multiplie respectivement par m, m^^\ ..., m'^~'^ ces équations, et que l'on ajoute ensemble ces produits, on aura une première équation finale

En multipliant encore les mêmes équations respectivement par n, n'^*\ ..., /z^^-'> et ajoutant ces produits, on aura une seconde équation finale

le signe S s'étendant ici, comme dans le numéro précédent, à toutes les valeurs de i, depuis « = o jusqu'à i = 5 — i .

Si l'on suppose nulles les deux fonctions Sm^'^e^'^ S/ïf'^e^'\ fonctions que nous désignerons respectivement par (m) et (n), les deux équations finales précédentes donneront les corrections z et 5' des deux éléments. Mais ces corrections sont susceptibles d'erreurs, relatives à celle dont la supposition que nous venons de faire est elle-même susceptible. Concevons donc que les fonctions [m) et {n), au lieu d'être nulles, soient respectivement /et /', et nommons u et u' les erreurs correspondantes des corrections z et z\ déterminées par ce qui précède ; les deux équations finales deviendront

/ = M.Sm(»>(')+u'.Sm(')^('), /' = M . S nC'^pCO + m' . S «('■> g(') .

Il faut maintenant déterminer les facteurs m, m^^\ . .., n, n^*\ . . ., de manière que l'erreur moyenne à craindre sur chaque élément soit un minimum. Pour cela, considérons le produit

Mî

^\ — (m>-')cT+n('-')CT')-ry/I^

le signe / se rapportant à toutes les valeurs de 00, depuis x = — a jusqu'à œ = a; çf-j étant, comme dans le numéro précédent, la probabilité de l'erreur œ, ainsi que de l'erreur — 00. La fonction précédente devient, en réunissant les deux exponentielles relatives à a? et à

2/9 ( - I cos[fnxTS-h nxrs') X2/9 ( — j cos(m(')^nj 4- n^O^rs') X-.le signe / s'étendant ici à toutes les valeurs de x, depuis x = o jus-