LIVRE II

par ce qui précède, à la condition que la somme des carrés des erreurs qu'elles laisseraient subsister encore soit un minimum. Les Tables qui approcheraient le plus de remplir cette condition mériteraient donc la préférence, d'où il suit qu'en comparant ces diverses Tables à un nombre considérable d'observations, la présomption d'exactitude doit être en faveur de celle dans laquelle la somme des carrés des erreurs est plus petite que dans les autres.

22. Jusqu'ici nous avons supposé les facilités des erreurs positives les mêmes que celles des erreurs négatives. Considérons maintenant le cas général dans lequel ces facilités peuvent être différentes. Nommons a l'intervalle dans lequel les erreurs de chaque observation peuvent s'étendre, et supposons-le partagé dans un nombre infini n-\-n' de parties égales et prises pour l'unité, n étant le nombre des parties qui répondent aux erreurs négatives, et n' étant le nombre des parties qui répondent aux erreurs positives. Sur chaque point de l'intervalle a élevons une ordonnée qui exprime la probabilité de l'erreur

correspondante, et désignons par (p( -,\ l'ordonnée correspondante

à l'erreur^. Gela posé, considérons la suite

^-9«CTv/=T j^„[ — ( W — I ) 1 ^-y(«- 1 )CT v'^ ^ ^

Représentons cette suite par /cpf — —--\ci^^'^-\ le signe / s'étendant

à toutes les valeurs de x, depuis x =. — n jusqu'à x = n'. Le terme

indépendant de c^^f^* et de ses puissances, dans le développement de la fonction

sera, par le n** 21, la probabilité que la fonction

sera égale à /-h jx; cette probabilité est donc

( I ) — fdrs c-^^V^ c'-i^^V^/9 ( — ^ j ci-c^y/-^ X . . . ,

l'intégrale étant prise depuis ts =: — 7: jusqu'à cr = r. Le logarithme de la fonction

est

n et /l' étant supposés des nombres infinis, si l'on fait

, = X , : = dX \

si, de plus, on suppose

k=zjdx'<sf[x'), k' = fx'dx'(^[x'), h" = fx'^dx'cf[x'),

les intégrales étant prises depuis x'= j jusqu'à x'= ,,

on aura

1+ -r q[n + n')is\J—i

ts"

L'erreur de chaque observation devant tomber dans les limites — n et -\-n\ et la probabilité que cela aura lieu étant/(p( — —~i) ou {n-^n')k^ cette quantité doit être égale à l'unité. De là il est facile de conclure que le logarithme de la fonction (2) est, en faisant (x'= — —-,»