LIVRE II

le signe S embrassant toutes les valeurs de i, depuis i nul jusqu'à i= s — ï. On fera disparaître la première puissance de ct, en faisant

et si l'on ne considère que sa seconde puissance, ce que l'on peut faire par ce qui précède, lorsque s est un très grand nombre, on aura, pour le logarithme de la fonction (a),

En repassant des logarithmes aux nombres, la fonction (2) se transforme dans la suivante

l'intégrale (i) devient ainsi

— fdxjsc c *^

Supposons

/(A-A-"-A-'2)Sfl(02 ryZ-i / ik^

La variation de /étant l'unité, on aura

l'intégrale précédente devient ainsi, après l'avoir intégrée depuis f = — 00 jusqu'à z = 00 ,

hdr

i{kk"-k*)

sji[kk" - k"^)T:

Ainsi la probabilité que la fonction [m) sera comprise dans les limites

Œuvres de L. — y\\. 43

est égale à

s/nJ

h. flr ril

\JtzJ sji[hk" — k'^)

l'intégrale étant prise depuis r nul.

ah'

—j- est l'abscisse de l'ordonnée qui passe par le centre de gravité de

l'aire de la courbe des probabilités des erreurs de chaque observation; le produit de cette abscisse par S^^'^ est donc le résultat moyeu vers lequel la fonction (m) converge sans cesse. Si l'on suppose i =^=^(*^=..., la fonction (m) devient la somme des erreurs, et alors S^'''^ devient s; en divisant donc par s la somme des erreurs, pour avoir l'erreur moyenne, cette erreur converge sans cesse vers l'abscisse du centre de gravité, de manière qu'en prenant de part et d'autre un intervalle quelconque aussi petit que l'on voudra, la probabilité que l'erreur moyenne tombera dans cet intervalle finira, en multipliant indéfiniment les observations, par ne différer de la certitude que d'une quantité moindre que toute grandeur donnée.

23. Nous venons de rechercher le résultat moyen que des observations nombreuses et non faites encore doivent indiquer avec le plus d'avantage, et la loi de probabilité des erreurs de ce résultat. Considérons présentement le résultat moyen des observations déjà faites et dont on connaît les écarts respectifs. Pour cela, concevons un nombre s d'observations du même genre, c'est-à-dire telles que la loi des erreurs soit la même pour toutes. Nommons A le résultat de la première, k-{-q celui de la seconde, A + ^''' celui de la troisième, et ainsi de suite; q, q^^\q^^\ ... étant des quantités positives et croissantes, ce que l'on peut toujours obtenir par une disposition convenable des observations. Désignons encore par <p(s) la probabilité de l'erreur z pour chaque observation, et supposons que A + ^r soit le vrai résultat. L'erreur de la première observation est alors — x\ q — x, q^*^ — x, . . . sont les erreurs de la deuxième, de la troisième, etc. La probabilité de l'existence simultanée de toutes ces erreurs est le produit de leurs pro-