LIVRE II

par c-'î'f*'^, afin qu'il puisse également convenir aux erreurs positives et négatives, on aura

Si l'on fait a? = a-h z, et que l'on développe l'exposant de c par rapport aux puissances de z, y prendra cette forme

»^ — - JJ ^-M-2Nz-Pi»-Qi'-...^

expression dans laquelle on a

4''(/) étant le coefficient de dt dans la différentielle de ^{t), ^"{t) étant le coefficient de dt dans la différentielle de ^l^'(^), et ainsi de suite.

Supposons le nombre s des observations très grand, et déterminons a par l'équation N = o que donne la condition du maximum dej; alors on a

y — . JJ ç-M-Pz'-Qi!»-. . .

M, P, Q, ... sont de l'ordre s; or, si z est très petit de l'ordre —j Qz^

devient de l'ordre — > et l'exponentielle c~^''~" peut se réduire à

l'unité. Ainsi, dans l'intervalle depuis 5 = 0 jusqu'à z= —^ on peut

supposer

Au delà, et lorsque z est de l'ordre s ' , m étant plus petit que l'unité, P52 devient de l'ordre s*-""; par conséquent c'^'' devient, ainsi que j, insensible; en sorte que l'on peut, dans toute l'étendue de la courbe,

supposer

j = H c-^i-Pz\

La valeur de a donnée par l'équation N = o, ou

o=:ar\>'{a^)-{-{a — q) ^'{a - q]^ + [a - g(< )) ^'{a - ^(0)2 ^ ... ^

est alors l'abscisse x correspondante à l'ordonnée qui divise l'aire de la courbe en parties égales. La condition que l'aire entière de la courbe doit représenter la certitude ou l'unité donne

^=/t/zc-M-p^'

l'intégrale étant prise depuis z =— <x> jusqu'à s = oo , ce qui donne

L'erreur moyenne à craindre en plus ou en moins, en prenant a pour résultat moyen des observations, est zhjzydz, l'intégrale étant prise depuis z nul jusqu'à z infini, ce qui donne pour cette erreur

2v/7rP

Mais l'ignorance entière où l'on est de la loi c~^^'^^^ des erreurs de chaque observation ne permet pas de former l'équation

o = a ^'{a'^) + [a — q) ^'[a — qY -\-

Ainsi, la connaissance des valeurs de q, q^*\ ... ne àonnAnt a posteriori aucune lumière sur le résultat moyen a des observations, il faut s'en tenir au résultat le plus avantageux déterminé a priori, et que l'on a vu être celui que fournit la méthode des moindres carrés des erreurs. Cherchons la fonction <j>(^') qui donne constaniment la règle des milieux arithmétiques, admise par les observateurs. Pour cela, concevons que, sur les s observations, les i premières coïncident, ainsi que les s — i dernières. L'équation N = o devient alors

o = ia y{a^) + [s — i]{a -q)^'[a — q)^.