LIVRE IL

La règle des milieux arithmétiques donne

l'équation précédente devient ainsi

Cette équation devant avoir lieu quels que soient - et q, il est nécessaire que ^\t) soit indépendant de /, ce qui donne

k étant une constante. En intégrant, on a

^[t) = ki — \., L étant une constante arbitraire; partant,

Telle est donc la fonction qui peut seule donner généralement la règle des milieux arithmétiques. La constante L doit être déterminée de manière que l'intégrale Jdxà'~''^\ prise depuis a? = — oo jusqu'à a? = 00 , soit égale à l'unité; car il est certain que l'erreur x d'une observation doit tomber dans ces limites; on a donc

-Ax'

par conséquent la probabilité de l'erreur x est i/-

A la vérité, cette expression donne l'infini pour la limite des erreurs, ce qui n'est pas admissible; mais, vu la rapidité avec laquelle ce genre d'exponentielles diminue à mesure que x augmente, on peut prendre k assez grand pour qu'au delà de la limite admissible des erreurs leurs probabilités soient insensibles et puissent être supposées nulles.

La loi précédente des erreurs donne, pour l'expression générale (i) de j,

en déterminant H de manière que l'intégrale entière Jydx soit l'unité,

et faisant

Sfl(*')

L'ordonnée qui divise l'aire de la courbe en deux parties égales est celle qui répond à w = o et par conséquent à

Sflt')

c'est donc la valeur de oo qu'il faut choisir pour résultat moyen des observations; or cette valeur est celle que donne la règle des milieux arithmétiques; la loi précédente des erreurs de chaque observation donne donc constamment les mêmes résultats que cette règle, et l'on a vu qu'elle est la seule loi qui jouisse de cette propriété.

En adoptant cette loi, la probabilité de l'erreur e^'^ de l'observation (/-+• i)'^"«est

or on a vu dans le n° 20 que, - étant la correction d'un élément, cette observation fournit l'équation de condition

La probabilité de la valeur de d^'^z — a^'^ est donc

ç-k{p<t)z-a.fi)Y.

la probabilité de l'existence simultanée des s valeurs pz — a, p'^^^z — a^'^ ..., p'^^-^^z — a^'^-^^ sera donc

ç-AS(;>{'k-a(0)i^