DES FONCTIONS GÉNÉRATRICES A UNE VARIABLE

2. Soit j^ une fonction quelconque de ^; si l'on forme la suite infinie

on peut toujours concevoir une fonction de t qui, développée suivant les puissances de t, donne cette suite : cette fonction est ce que je nomme fonction génératrice de y^-

La fonction génératrice d'une variable quelconque y^; est donc généralement une fonction de ? qui, développée suivant les puissances dei, a cette variable pour coefficient de f^; et réciproquement, la variable correspondante d'une fonction génératrice est le coefficient de t^ dans le développement de cette fonction suivant les puissances de^; en sorte que l'exposant de la puissance de t indique le rang que la variable j^ occupe dans la série, que l'on peut concevoir prolongée indéfiniment à gauche, relativement aux puissances négatives de t.

Il suit de ces définitions que, u étant la fonction génératrice de j^,

celle de y^^r est -; car il est visible que le coefficient de f^ dans — est

égal à celui de t^^ dans w, par conséquent il est égal à j^+r-

Le coefficient de t^ dans ui- — i j est donc égal à j^+j — y^., ou à la

diff'érence des deux quantités consécutives jj.+, et j^, différence que nous désignerons par Aj^., A étant la caractéristique des différences finies. On a donc la fonction génératrice de la différence finie d'une

quantité variable, en multipliant par-— i la fonction génératrice de

la quantité elle-même. La fonction génératrice de la différence finie de Ajj-, différence que l'on désigne par A- j^, est ainsi u i- —i\ ; celle de la différence finie de A^ja:» ouA^y-^,es,tu(j— i ) , d'où l'on peutgéné-

•alement conclure que la fonction génératrice de la différence finie A'y^r

est M I j — I

Pareillement, le coefficient de t^ dans le développement de / b c e q\

est

aj'x + by-jc+t H- cyjc+i + efx+i + • • • + qXx+n ;

on nommant donc vjKa; cette quantité, sa fonction génératrice sera

Si l'on nomme v^yx ce que devient vjx lorsqu'on y change y^c dans vja ? si l'on nomme pareillement v^Jx ce que devient v^Ja- lorsqu'on y change vja: dans v^^J^» et ainsi de suite, leurs fonctions génératrices correspondantes seront

( b c qY-

( b c qY

et généralement la fonction génératrice de v'jx sera . ( b c qV

De là il est facile de conclure généralement que la fonction génératrice

de A' v^Ja^^,- est

/'• \ / <2 inj \i j

On peut généraliser encore ces résultats, en supposant que VJK* repré-