LIVRE PREMIER

sente une fonction quelconque linéaire, finie ou infinie, de Vj., Jx^-l» Jj:+2» • • • ; que sj^yx soit ce que devient vjx lorsqu'on y change y^r dans Vjxî que \^yx soit ce que devient v^r^ lorsqu'on y change vjx dans V^ Vx» et ainsi de suite ; u étant la fonction génératrice à^jr^, iis' sera la fonction génératrice de v'j^x» * étant ce que devient vjx» lorsqu'on y

change y^ dans l'unité, j^r+i dans j> jx+a dans — » Cela est encore

vrai lorsque «est un nombre négatif ou même fractionnaire et incommensurable, en faisant toutefois à ce résultat des modifications convenables.

Représentons par 1 la caractéristique des intégrales finies, et nommons z la fonction génératrice de l^y^, u étant la fonction génératrice

de y^; ^f- — i) sera, par ce qui précède, la fonction génératrice

de y^' Mais cette fonction doit, en n'ayant égard qu'aux puissances positives de t, se réduire à u, qui ne renferme que des puissances positives de t, si l'on n'étend l'intégrale multiple ^yx qu'aux valeurs positives de x; on aura donc alors

/i \' ABC F

d'où l'on tire

ut' -+- A /'■-«+ B /'-2 -f- C <'■-»-+-... H- F

[i-ty

A, B, C, ..., F étant des constantes arbitraires qui répondent aux i constantes arbitraires qu'introduisent les i intégrations successives de l'yx.

En faisant abstraction de ces constantes, la fonction génératrice de

2'jar ^^^ "(7 ~ 0 ' ^*^ sorte que l'on obtient cette fonction génératrice en changeant i dans — i dans la fonction génératrice de A'y^.; ^~yx est donc alors égale à l^yx, c'est-à-dire que les différences négatives se changent en intégrales. Mais, si l'on a égard aux constantes

arbitraires, il faut, en passant des puissances positives de i à ses

puissances négatives, augmenter u de la série 7 + 7i + -^ H- • • • . prolongée jusqu'à ce que le nombre de ses termes soit égal à l'exposant

Œuvres de L, — VU. 2

de ces puissances. On peut appliquer des considérations semblables à la fonction génératrice de v'^a;-

On voit par ce qui précède de quelle manière les fonctions génératrices se forment de la loi des variables correspondantes. Voyons maintenant comment les variables se déduisent de leurs fonctions génératrices; s étant une fonction quelconque de -> si l'on développe *'

suivant les puissances de -^ et que l'on désigne par — un terme quelconque de ce développement, le coefficient de t^ dans — sera ky^^n;

on aura donc le coefficient de f' dans W5% coefficient que nous avons désigné précédemment par ^^y^ : i** en substituant dans s, y^ au lieu

de -; 2° en développant ce que devient alors ^ suivant les puissances de ja,, et en transportant à l'indice x l'exposant de la puissance de y^, c'est-à-dire en écrivant j^r+i au lieu de (ja?)', yx-i-i au lieu de (yxYy etc., et en multipliant les termes indépendants de y^* et qui peuvent être censés avoir (yxY pour facteur, par yx^ Lorsque la caractéristique y se change en A, s est, par ce qui précède, égal à - — i; on a donc

alors

* • • iii — '^)

Si, au lieu de développer 5' suivant les puissances de -•, on le développe suivant les puissances de - — i, et que l'on désigne par

>t(- — I y un terme quelconque de ce développement, le coefficient

/' I \ " de f^ dans kui- — il sera kM^yx\ on aura donc v'ja; • i*' en substituant, dans s, Ay^ au lieu de - — i, ou, ce qui revient au même, I + Aja; au lieu de -; 2° en développant ce que devient alors / suivant les puissances de Aj^, et en appliquant à la caractéristique A les exposants des puissances de A j^, c'est-à-dire en écrivant ù^yx au lieu de (Aja;)S ^^ïx au lieu de (Ay^)% etc., et en multipliant par (Aj^:)"» ou, ce qui est la même chose, par yx les termes indépendants de Aja;-