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lequel la plus grande erreur, abstraction faite du signe, est moindre que dans tout autre système. Ce cas est celui du minimum des puissances infinies et paires des erreurs. Ne considérons ici que la correction d'un seul élément, et, z exprimant cette correction, représentons, comme précédemment, les équations de condition par la suivante,

i pouvant varier depuis zéro jusqu'à ^ — r, ^ étant le nombre des observations. La somme des puissances 2n des erreurs sera S(a^'^— />^''s)-", le signe S s'étendan-t à toutes les valeurs de L On peut supposer dans cette somme toutes les valeurs de /?^'^ positives; car, si l'une d'elles était négative, elle deviendrait positive en changeant, comme on peut le faire, les signes des deux termes du binôme élevé à la puissance 2n, auquel elle correspond. Nous supposerons donc les quantités x — pz, a.^*^— p(*^z, cL^^^—p^-^z, ,.., disposées de manière que les quantités/?, p^*\ p^^\ . . . soient positives et croissantes. Cela posé, si 2n est infini, il est clair que le plus grand terme de la somme S>{a.^'^ — p^'^zY" sera la somme entière, à moins qu'il n'y ait un ou plusieurs autres termes qui lui soient égaux, et c'est xie qui doit avoir lieu dans le cas du minimum de la somme. En effet, s'il n'y avait qu'une seule quantité la plus grande, abstraction faite du signe, telle que a^ — pi')z, on pourrait la diminuer en faisant varier z convenablement, et alors la somme S(a^') — p^'^zY" diminuerait et ne serait pas un minimum. Il faut de plus que, si a^'^ — p^^^z et a^'^ — p^^'^z sont, abstraction faite du signe, les deux quantités les plus grandes et égales entre elles, elles soient de signe contraire. En effet, la somme

devant être alors un minimum, sa différentielle

— 2» dz[p('^ ( a(') — ;?('■) z )2«-' + p(n ( oc^n — pin z )2«-i ]

doit être nulle, ce qui ne peut être, lorsque n est infini, que dans le cas où oi^'-—p^'^z et ol^^'^ — p^^"> z sont infiniment peu différents et de

35a THÉORIE ANALYTIQUE DES PROBABILITÉS.

signe contraire. S'il y a trois quantités les plus grandes, et égales entre elles, abstraction faite du signe, on verra de la même manière que leurs signes ne peuvent être les mêmes. Maintenant, considérons la suite

— OC-hpZ, ..., — a('f"3) 4 y3(*-3)2, — ix(S-2) ^ p(s-2)z, —a(S-{) ^ p(S-i)z.

Si l'on suppose s = — oo , le premier terme de la suite surpasse les suivants, et continue de les surpasser en faisant croître z, jusqu'au moment où il devient égal à l'un d'eux. Alors celui-ci, par l'accroissement de z, devient le plus grand de tous, et à mesure que l'on fait croître z-, il continue toujours de surpasser ceux qui le précèdent. Pour déterminer ce terme, on formera la suite des quotients

J(s^)Z.~^s^)^ pis -T)— pis -T)'' '■'' pCs^^f— p^ pis-T) ^p^ *"* jyJ^^îT^T^Ïs^) ' Supposons que ~fz^- — ^y^ soit le plus petit de ces quotients en ayant

égard au signe, c'est-à-dire en regardant une quantité négative plus grande comme plus petite qu'une autre quantité négative moindre. S'il y a plusieurs quotients les plus petits et égaux, nous considérerons celui qui se rapporte au terme le plus éloigné du premier dans la suite (o) ; ce terme sera le plus grand de tous, jusqu'au moment où, par l'accroissement de z, il devient égal à l'un des suivants, qui commence alors à être le plus grand. Pour déterminer ce nouveau terme, on formera la nouvelle suite de quotients

le terme de la suite (o) auquel répond le plus petit de ces quotients sera le nouveau terme. On continuera ainsi jusqu'à ce que l'un des deux termes qui deviennent égaux et les plus grands soit dans la première moitié de la suite (o), et l'autre dans la seconde moitié. Soient a(')__^(o^ et — x^'"> -h p^^'^ z ces deux termes; alors la valeur de z qui cor-

respond au système du minimum de la plus grande des erreurs, abstraction faite du signe, est

,(j) ^- nii')

S'il y a plusieurs éléments à corriger, les équations de condition qui déterminent leurs corrections renferment plusieurs inconnues, et la recherche du système de correction, dans lequel la plus grande erreur est, abstraction faite du signe, plus petite que dans tout autre système, devient plus compliquée. J'ai considéré ce cas d'une manière générale dans le Livre III de la Mécanique céleste. J'observerai seulement ici qu'alors la somme des puissances 2n des erreurs des observations est, comme dans le cas d'une seule inconnue, un minimum lorsque 2n est infini ; d'où il est facile de conclure que, dans le système dont il s'agit, il doit y avoir autant d'erreurs, plus une, égales, et les plus grandes, abstraction faite du signe, qu'il y a d'éléments à corriger. On conçoit que les résultats correspondants k 2n égal à un grand nombre doivent peu différer de ceux que donne 2/1 infini. Il n'est pas même nécessaire pour cela que la puissance 2/1 soit fort élevée, et j'ai reconnu par beaucoup d'exemples que, dans le cas même où cette puissance ne surpasse pas le carré, les résultats diffèrent peu de ceux que donne le système du minimum des plus grandes erreurs, ce qui est un nouvel avantage de la méthode des moindres carrés des erreurs des observations.

Depuis longtemps, les géomètres prennent un milieu arithmétique entre leurs observations, et, pour déterminer les éléments qu'ils veulent connaître, ils choisissent les circonstances les plus favorables pour cet objet, savoir, celles dans lesquelles les erreurs des observations altèrent le moins qu'il est possible la valeur de ces éléments. Mais Cotes est, si je ne me trompe, le premier qui ait donné une règle générale pour faire concourir à la détermination d'un élément plusieurs observations, proportionnellement à leur influence. En considérant chaque observation comme une fonction de l'élément et regardant l'erreur de l'observation comme une différentielle infiniment petite, elle sera égale à la différentielle de la fonction, prise par rapport à cet

élément. Plus le coefficient de la différentielle de l'élément sera considérable, moins il faudra faire varier l'élément, pour que le produit de sa variation par ce coefficient soit égal à l'erreur de l'observation ; ce coefficient exprimera donc l'influence de l'observation sur la valeur de l'élément. Cela posé. Cotes représente toutes les valeurs de l'élément, données par chaque observation, par les parties d'une droite indéfinie, toutes ces parties ayant une commune origine. Il conçoit ensuite, à leurs autres extrémités, des poids proportionnels aux influences respectives des observations. La distance de l'origine commune des parties au centre commun de gravité de tous ces poids est la valeur qu'il choisit pour l'élément.

Reprenons l'équation de condition du n** 20,

e^'^ étant l'erreur de l'observation {i-+- i)»eme^ gj ^ étant la correction de l'élément déjà connu à fort peu près; p^'\ que l'on peut toujours supposer positif, exprimera l'influence de l'observation correspondante.

-jjy étant la valeur de z résultante de l'observation, la règle de Cotes

revient à multiplier cette valeur par /?^'\ à faire une somme de tous les produits relatifs aux diverses valeurs, et à la diviser par la somme de

tous les p^^\ ce qui donne

Sa(^ ^~S/?('>'

C'était en eff*et la correction adoptée par les observateurs, avant l'usage de la méthode des moindres carrés des err^eurs des observations.

Cependant on ne voit pas que, depuis cet excellent géomètre, on ait employé sa règle, jusqu'à Euler, qui, dans sa première pièce de Jupiter et Saturne, me paraît s'être servi le premier des équations de condition pour déterminer les éléments du mouvement elliptique de ces deux planètes. Presqu'en même temps, Tobie Mayer en fit usage dans ses belles recherches sur la libration de la Lune, et ensuite pour former ses Tables lunaires. Depuis, les meilleurs astronomes ont suivi

cette méthode, et le succès des Tables qu'ils ont construites à son moyen en a constaté l'avantage.

Quand on n'a qu'un élément à déterminer, cette méthode ne laisse aucun embarras; mais, lorsque l'on doit corriger à la fois plusieurs éléments, il faut avoir autant d'équations finales formées par la réunion de plusieurs équations de condition, et au moyen desquelles on détermine par l'élimination les corrections des éléments. Mais quelle est la manière la plus avantageuse de combiner les équations de condition, pour former les équations finales? C'est ici que les observateurs s'abandonnaient à des tâtonnements arbitraires, qui devaient les conduire à des résultats différents, quoique déduits des mêmes observations. Pour éviter ces tâtonnements, M. Legendre eut l'idée simple de considérer la somme des carrés des erreurs des observations, et de la rendre un minimum, ce qui fournit directement autant d'équations finales, qu'il y a d'éléments à corriger. Ce savant géomètre est le premier qui ait publié cette méthode; mais on doit à M. Gauss la justice d'observer qu'il avait eu, plusieurs années avant cette publication, la même idée dont il faisait un usage habituel, et qu'il avait communiquée à plusieurs astronomes. M. Gauss, dans sa Théorie du mouvement elliptique, a cherché à rattacher cette méthode à la Théorie des Probabilités, en faisant voir que la même loi des erreurs des observations, qui donne généralement la règle du milieu arithmétique entre plusieurs observations, admise par les observateurs, donne pareillement la règle des moindres carrés des erreurs des observations, et c'est ce qu'on a vu dans le n** 23. Mais, comme rien ne prouve que la première de ces règles donne le résultat le plus avantageux, la même incertitude existe par rapport à la seconde. La recherche de la manière la plus avanta^ geuse de former les équations finales est sans doute une des plus utiles de la Théorie des Probabilités : son importance dans la Physique et l'Astronomie me porta à m'en occuper. Pour cela, je considérai que toutes les manières de combiner les équations de condition, pour en former une équation finale linéaire, revenaient à les multiplier respectivement par des facteurs qui étaient nuls relativement aux équations

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que l'on n'employait point, et à faire une somme de tous ces produits, ce qui donne une première équation finale. Un second système de facteurs donne une seconde équation finale, et ainsi de suite, jusqu'à ce que l'on ait autant d'équations finales que d'éléments à corriger. Maintenant il est visible qu'il faut choisir les systèmes de facteurs, de sorte que l'erreur moyenne à craindre en plus ou en moins sur chaque élément soit un minimum; l'erreur moyenne étant la somme des produits de chaque erreur par sa probabilité. Lorsque les observations sont en petit nombre, le choix de ces systèmes dépend de la loi des erreurs de chaque observation. Mais, si l'on considère un grand nombre d'observations, ce qui a lieu le plus souvent dans les recherches astronomiques, ce choix devient indépendant de cette loi, et Ton a vu, dans ce qui précède, que l'Analyse conduit alors directement aux résultats de la méthode des moindres carrés des erreurs des observations. Ainsi cette méthode qui n'offrait d'abord que l'avantage de fournir, sans tâtonnement, les équations finales nécessaires à la correction des éléments, donne en même temps les corrections les plus précises, du moins lorsqu'on ne veut employer que des équations finales qui soient linéaires, condition indispensable, lorsque l'on considère à la fois un grand nombre d'observations; autrement, l'élimination des inconnues et leur détermination seraient impraticables.