LIVRE II

Cette probabilité varie avec :■; on aura donc la probabilité d'une valeur quelconque de :; en multipliant cette quantité par dz et divisant le produit par l'intégrale de ce produit, prise depuis z=—cc jusqu'à ^ — 00 . Soit

cette probabilité devient

en sorte que, si l'on décrit une courbe dont le coefficient de du soit l'ordonnée et dont u soit l'abscisse, cette courbe, étendue depuis M = — Qo jusqu'à w = Qo , peut être considérée comme la courbe des probabilités des erreurs w, dont le résultat

est susceptible. L'ordonnée qui divise l'aire de la courbe en deux parties égales est celle qui répond à m = o, et par conséquent à z égal à

-^-^^5 ce résultat est donc celui qu'il faut choisir; or il est le même

que celui que donne la méthode des moindres carrés des erreurs des observations; la loi précédente des erreurs de chaque observation conduit donc aux mêmes résultats que cette méthode.

La méthode des moindres carrés des erreurs devient nécessaire lorsqu'il s'agit de prendre un milieu entre plusieurs résultats donnés, chacun, par l'ensemble d'un grand nombre d'observations de divers genres. Supposons qu'un même élément soit donné : i** par le résultat moyen de^ observations d'un premier genre et qu'il soit, par ces observations, égal à A; 2** par le résultat moyen de ^'observations d'un deuxième genre et qu'il soit égal à A + ^; 3" par le résultat moyen de s" observations d'un troisième genre et qu'il soit égal à A -f- q', et ainsi du reste. Si l'on représente par A 4- a? l'élément vrai, l'erreur du résul-

OEuvresde L. — VII. 4*

tat des observations s sera —x; en supposant donc ê égal à

si l'on fait usage de la méthode des moindres carrés des erreurs pour déterminer le résultat moyen, ou à

si l'on fait usage de la méthode ordinaire; la probabilité de cette erreur sera, par le n° 20,

L'erreur du résultat des observations s' sera q — x, et, en désignant par ê'pour ces observations ce que nous avons nommé ê pour les observations s, la probabilité de cette erreur sera

Pareillement, l'erreur du résultat des observations s" sera q — x, et en nommant pour elles ê" ce que nous avons nommé ê pour les observations s, la probabilité de cette erreur sera

v/tt

et ainsi de suite. Le produit de toutes ces probabilités sera la probabilité que — X, q — x,q' — x, . .. seront les erreurs des résultats moyens des observations s, s', s", En le multipliant par dx et prenant l'intégrale depuis ^ = — 00 jusqu'à a? = oo , on aura la probabilité que les résultats moyens des observations s', s", . . . surpasseront respectivement de y, q\ ... le résultat moyen des observations s.

Si l'on prend l'intégrale dans des limites déterminées, on aura la probabilité que, la condition précédente étant remplie, l'erreur du premier résultat sera comprise dans ces limites; en divisant cette pro-

LÏVRE II. 347

habilité par celle de la condition elle-même, on aura la probabilité que l'erreur du premier résultat sera comprise dans des limites données, lorsqu'on est certain que la condition a effectivement lieu ; cette prohabilité est donc

l'intégrale du numérateur étant prise dans les limites données, et celle du dénominateur étant prise depuis ^ = — oo jusqu'à ^r = oc . On a

Soit

la probabilité précédente deviendra

l'intégrale du numérateur étant prise dans des limites données, et celle du dénominateur étant prise depuis t=—<x) jusqu'à / — oo . Cette

dernière intégrale est

v/tt

y^g2T:;rg7ïT^g-"TT^:77 '

t' = t y/gïT^rg^i-i^rg/'r— :; ;,.

la probabilité précédente devient

Vît

La valeur de t' la plus probable est celle qui répond à /' nul, d'où il suit que la valeur de x la plus probable est celle qui répond à ^ = o; ainsi la correction du premier résultat, que l'ensemble de toutes les obser-

valions s, s', s", . . . donne avec le plus de probabilité, est

Cette correction, ajoutée au résultat A, donne, pour le résultat qu'il

faut choisir,

La correction précédente est celle qui rend un minimum la fonction

Or la plus grande ordonnée de la courbe des probabilités du premier

résultat est, comme on vient de le voir, --z^; celle de la courbe des pro-

6' babilités du second résultat est -^^ et ainsi de suite; le milieu qu'il

v/tt

faut choisir entre les divers résultats est donc celui qui rend un minimum la somme des carrés de l'erreur de chaque résultat multipliée par la plus grande ordonnée de sa courbe de probabilité. Ainsi la loi du minimum des carrés des erreurs devient nécessaire, lorsque l'on doit prendre un milieu entre des résultats donnés chacun par un grand nombre d'observations.

24. On a vu précédemment que, de toutes les manières de combiner les équations de condition pour en former des équations finales linéaires, nécessaires à la détermination des éléments, la plus avantageuse est celle qui résulte de la méthode des moindres carrés des erreurs des observations, du moins lorsque les observations sont en grand nombre. Si, au lieu de considérer le minimum des carrés des erreurs, on considérait le minimum d'autres puissances des erreurs, ou même de toute autre fonction des erreurs, les équations finales cesseraient d'être linéaires, et leur résolution deviendrait impraticable, si les observations étaient en grand nombre. Cependant il est un cas qui mérite une attention particulière, en ce qu'il donne le système dans