CHAPITRE VI

DE LA PROBABILITÉ DES CAUSES ET DES ÉVÉNEMENTS FUTURS, TIRÉE DES ÉVÉNEMENTS OBSERVÉS.

26. La probabilité de la plupart des événements simples est inconnue : en la considérant a priori, elle nous paraît susceptible de toutes les valeurs comprises entre zéro et l'unité; mais, si l'on a observé un résultat composé de plusieurs de ces événements, la manière dont ils y entrent rend quelques-unes de ces valeurs plus probables que les autres. Ainsi, à mesure que le résultat observé se compose par le développement des événements simples, leur vraie possibilité se fait de plus en plus connaître, et il devient de plus en plus probable qu'elle tombe dans des limites qui, se resserrant sans cesse, finiraient par coïncider, si le nombre des événements simples devenait infini. Pour déterminer les lois suivant lesquelles cette possibilité se découvre, nous la nommerons x. La théorie exposée dans les Chapitres précédents donnera la probabilité du résultat observé, en fonction de x. Soit j cette fonction; si l'on considère les différentes valeurs de x comme autant de causes de ce résultat, la probabilité de x sera, par le troisième principe du n" 1, égale à une fraction dont le numérateur est j, et dont le dénominateur est la somme de toutes les valeurs de j; en multipliant donc le numérateur et le dénominateur de cette fraction par dx^ cette probabilité sera

ydx j'ydx'

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l'intégrale du dénominateur étant prise depuis x = o jusqu'à x = i. La probabilité que la valeur de oo est comprise dans les limites a? = 6 et 07 = 6' est par conséquent égale à

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l'intégrale du numérateur étant prise depuis o? = 6 jusqu'à x = 6', et celle du dénominateur étant prise depuis x = o jusqu'à x ^ i.

La valeur de x la plus probable est celle qui rend j un maximum. Nous la désignerons par a. Si aux limites de x, y est nul, alors chaque valeur de j a une valeur égale correspondante de l'autre côté du maximum.

Quand les valeurs de x, considérées indépendamment du résultat observé, ne sont pas également possibles, en nommant z la fonction de X qui exprime leur probabilité, il est facile de voir, par ce qui a été dit dans le Chapitre P'^de ce Livre, qu'en changeant dans la formule (i), y dans yz, on aura la probabilité que la valeur de x est comprise dans les limites x =^^ et o? = ô'. Cela revient à supposer toutes les valeurs de X également possibles a priori, et à considérer le résultat observé comme étant formé de deux résultats indépendants, dont les probabilités sont y et z. On peut donc ramener ainsi tous les cas à celui où l'on suppose a priori, avant l'événement, une égale possibilité aux différentes valeurs de x, et, par cette raison, nous adopterons cette hypothèse dans ce qui va suivre.

Nous avons donné dans les n**®22 et suivants du Livre P'" les formules nécessaires pour déterminer, par des approximations convergentes, les intégrales du numérateur et du dénominateur de la formule (i), lorsque les événements simples dont se compose l'événement observé sont répétés un très grand nombre de fois; car alors j' a pour facteurs des fonctions de x élevées à de grandes puissances. Nous allons, au moyen de ces formules, déterminer la loi de probabilité des valeurs de X, à mesure qu'elles s'éloignent de la valeur a, la plus probable, ou qui rend y un maximum. Pour cela, reprenons la formule (c) du

n° 27 du Livre V,

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X en a, a étant la valeur de x qui rend y un maximum : T est égal h ce que devient la fonction y^logY — logj, lorsqu'on change ^ en « — 0 dans j, et T' est ce que devient la même fonction, lorsqu'on y changentdans a -h 0'. L'expression précédente de Jydx donne la valeur de cette intégrale, dans les limites a? = a — 6 et a? = « -f- 6', l'intégrale Jdtc~*' étant prise depuis ^ = — T jusqu'à t = T.

Le plus souvent, aux limites de l'intégrale jydx, étendue depuis .r = o jusqu'à^ — I, y est nul; ou, lorsque j n'est pas nul, il devient si petit à ces limites, qu'on peut le supposer nul. Alors, on peut faire à ces limites T et T' infinis, ce qui donne pour l'intégrale jy dx, étendue depuis X — o jusqu'à ^ = i ,

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ainsi la probabilité que la valeur de x est comprise dans les limites ■r = « — 0 et .3? = a 4- 0' est égale à

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On voit, par le n" 23 du Livre 1^', que, dans le cas où y a pour facteurs