LIVRE II

des fonctions de x élevées à de grandes puissances de l'ordre --, a étant une fraction extrêmement petite, alors U est le plus souvent de l'ordre y/a, ainsi que ses différences successives; U, — — ? .' .^ i •••

sont respectivement des ordres v^a, a, a^, ...; d'où il suit que la convergence des séries de la formule (3) exige que ï et T' ne soient pas

d'un ordre supérieur à -p-

va

Si l'on suppose 9 = 6', alors on a à fort peu près T = T', et la formule (3) se réduit, en négligeant les termes de l'ordre a, à l'intégrale

•^ — L — > prise depuis t = —T jusqu'à t = T; ce qui revient, en négli-

géant le carré de la différence T''* — T-, à doubler l'intégrale précédente et à la prendre depuis t nul jusqu'à

Or on a

T2 = logY - log j,

et Ton peut supposer

Iog7= -log9,

cp étant une fonction de ^ ou de a — 0, qui ne renferme plus de

d^ dx

facteurs élevés à de grandes puissances. En nommant donc 4>, —•> — j • •• ce que deviennent, lorsque 6 est nul, <p, ^» ^î» • ••) en ohser-

dx

Ux-i'- --M"-— ' — *""'-^— — '""^' ^^ dx' dx^-

vant ensuite que la condition de Y ou 0 un maximum donne -^ = o,

on aura

fl?2<ï) d^^

■2(^dx^

6^dx^ 8 l3<S>dx' \^d^') J

En changeant 0 dans — 9, on aura la valeur de xT^; on aura donc, en négligeant les termes de l'ordre a^.

x[T^-hT^)__ rf2$

2(^dx-^''

partant,

V 2 ^ \JxV 2$t/^2'

Faisons

tsjot..

la probabilité que la valeur de x est comprise dans les limites

a ± — r- sera

ifdtc-i'

l'intégrale étant prise depuis / = o, et pouvant être obtenue d'une manière fort approchée par les formules du n** 27 du Livre I".

Il résulte de cette expression que la valeur de x la plus probable est a, ou celle qui rend l'événement observé le plus probable, et qu'en multipliant à l'infini les événements simples dont l'événement observé

se compose, on peut à la fois resserrer les limites a± -^t et augmenter la probabilité que la valeur de x tombera entre ces limites; en sorte qu'à l'infini, cet intervalle devient nul, et la probabilité se confond avec la certitude.

Si l'événement observé dépend d'événements simples de deux différents genres, en nommant x et x' les possibilités de ces deux genres d'événements, on verra, par les raisonnements précédents, que, j étant alors la probabilité de l'événement composé, la fraction

y dx dx' ffy dx dx'

sera la probabilité des valeurs simultanées de x et de x' , les intégrales du dénominateur étant prises depuis x =^ o jusqu'à x = i, et depuis x :z=: o jusqu'à £r'= I. En nommant a et a' les valeurs de x et de x' qui