UU — S

— il*

pour la probabilité de s, correspondante à l'adresse x du joueur A.

On trouvera pareillement que, si l'on nomme z le nombre des parties de deux coups, gagnées par le joueur B, sur le nombre n — i de

parties qu'il a gagnées, la valeur de z la plus probable sera •> et

qu'en désignant par z' cette quantité et faisant

la probabilité de z correspondante à x sera

iz'iti — i — :: TT

^7y-rf/'6-^^'"-'-^''.

Le produit de ces deux probabilités est donc la probabilité correspondante à X, que le nombre des parties de deux coups, gagnées par le joueur A, sera s' -{- 1, tandis que le nombre des parties de deux coups, gagnées par le joueur B, sera s'+ /'. Soit

^ isd — s] ^ izin — i — z'

on aura, pour cette probabilité composée,

\l(19' dUl't--ir-q'f\

TZ

11 faut multiplier cette probabilité par celle de x, qui, comme on l'a vu

dans lé numéro précédent, est 7—^^; le produit est

^ ' -K Jydx

L'intégrale du dénominateur doit être prise depuis x^=o jusqu'à .r=i, et par le n** 27 du Livre 1^'", cette intégrale est, à très peu près,

Yv/^

Si l'on nomme X la fonction

et que l'on désigne par a! la valeur de x qui rend X y un maximum, et par X' et X' ce que deviennent X et j lorsqu'on y change x en a\ on aura, par le numéro précédent, en faisant a; = « -+- 0,

y dx s'qq' c'f''-f' i" = Y' X' dQ c ^'^' ^ "'' .

Il est facile de voir que a' ne diffère de la valeur a de x qui rend y un maximum, que d'une quantité de l'ordre a, que nous désignerons par

/a; en substituant dans Y, a +/a au lieu de a\ pour en former Y', et

dY développant par rapport aux puissances de a, on verra que -j~ étant

nul, parce que Y est le maximum de y, Y' ne diffère de Y que de quantités de l'ordre a; ainsi l'on a, aux quantités près d'un ordre inférieur

à celui que l'on conserve, et en observant que ^7-1- et yô7~2 peuvent être négligées par rapport a yr/- 5

j/2X'Y' j/^Y 2ir\'~dx^ ~ ^Tdx^ '

la fonction (e) devient par là

71 v/tT V

'''^ didi'dec-'"'^''"*