sp'{r — s)[p + p
^tp'[s-t)[p + p')
la probabilité P que, sur p' individus de l'âge A, les nombres de ceux qui vivront aux âges k-\- a, A + «-i-a', A4-« + «'+ a", . . . seront compris dans les limites respectives
"IP' ^P' ^z- ''P\ ''P'-^z'- 'P\ ^P' ^z"' ^P\ ^P' ^^'"' ..., , ■ -|- z , — - 5 - — - -\r z , — 1 ■ — - -t- Z , — ) -i- Z , • • • )
est
On peut apprécier par cette formule les probabilités respectives des nombres d'une Table de mortalité, construite sur un grand nombre d'observations. La manière de former ces Tables est très simple. On prend sur les registres des naissances et des morts un grand nombre d'enfants que l'on suit pendant le cours de leur vie, en déterminant combien il en reste à la fin de chaque année de leur âge, et l'on inscrit ce nombre vis-à-vis de chaque année finissante. Mais, comme dans les deux ou trois premières années de la vie la mortalité est très rapide, il faut, pour plus d'exactitude, indiquer dans ce premier âge le nombre des survivants à la fin de chaque demi-année. Si le nombre p des enfants était infini, on aurait ainsi des Tables exactes qui représenteraient la vraie loi de la mortalité dans le lieu et à l'époque de leur formation. Mais, le nombre d'enfants que l'on choisit étant fini, quelque grand qu'il soit, les nombres de la Table sont susceptibles d'erreurs. Représentons par p\ q' , r\ s' , t\ ... ces divers nombres. Les vrais
nombres, pour un nombre p' de naissances, sont — > —j -— > — > • • •• ^ ^ P P P P
Si l'on fait ^'= ^^ -\~ z, z sera l'erreur de q'-, pareillement, si l'on suppose r'— -^ -\- z\ z' sera l'erreur de r', et ainsi de suite. L'expression
précédente de P est donc la probabilité que les erreurs de q', r, s', .. . sont comprises dans les limites'zéro et z, zéro et z'-, zéro et z", etc. Les valeurs de ê, ê', ... dépendent de p, q, r, . . ., qui sont inconnues; mais la supposition de p infini donne
g2. PZ .
Vgp'{p-q)'
On peut substituer, sans erreur sensible, — au lieu de -> ce qui
donne
iq'[p'-q'
On aura de la même manière
ir'[q' ~r')
Si l'on ne veut considérer que l'erreur d'un des nombres de la Table, tel que s', alors on intégrera l'expression de P, relativement à z'", z^^, .,., depuis les valeurs infinies négatives de ces variables jusqu'à leurs valeurs infinies positives, et alors on a
J v/tt v^t: v/tt
Les intégrales relatives à s et s' doivent être prises depuis leurs valeurs infinies négatives jusqu'à leurs valeurs infinies positives; on trouvera ainsi, par le procédé dont nous avons souvent fait usage pour ce genre d'intégrations, que, si l'on suppose
is'ip'-
on aura
J ' sJ^
La probabilité que l'erreur d'un nombre quelconque de la Table sera comprise dans les limites zéro et une quantité quelconque est donc indépendante, soit des nombres intermédiaires, soit des nombres subséquents.
Si l'on fait yz" = t, on aura
et la probabilité P que le rapport de l'erreur du nombre s' de la Table
à ce nombre lui-même sera compris dans les limites i^yZ-^^-r,— -
J sjn '
est
l'intégrale étant prise depuis / nul. On voit ainsi que, la valeur de t et par conséquent la probabilité P restant les mêmes, ce rapport augmente lorsque 5' diminue; ainsi les nombres de la Table sont d'autant moins sûrs qu'ils sont plus éloignés du premier/?'. On voit encore que ce rapport diminue à mesure que /?' augmente, ou à mesure que l'on multiplie les observations; de manière que l'on peut, par cette multiplication, diminuer à la fois ce rapport et augmenter t, ce rapport devenant nul lorsque/?' est infini, et P devenant alors égal à l'unité.
3i. Appliquons l'analyse précédente à la recherche de la population d'un grand empire. L'un des moyens les plus simples et les plus propres à déterminer cette population est l'observation des naissances annuelles dont on est obligé de tenir compte pour déterminer l'état civil des enfants. Mais ce moyen suppose que Ton connaît, à très peu près, le rapport de la population aux naissances annuelles, rapport que l'on obtient en faisant sur plusieurs points de l'empire le dénombrement exact des habitants, et en le comparant aux naissances correspon-
