LIVRE II

fant qui va naître et être baptisé sera un garçon. En élevant x-\-{i —x) à la puissance 2/1 et développant cette puissance, on aura

La somme des n premiers termes de ce développement sera la probabilité que chaque année le nombre des baptêmes des garçons l'emportera sur celui des baptêmes des filles. Nommons z cette somme; s' sera la probabilité que cette supériorité se maintiendra pendant le nombre i d'années consécutives; donc, si l'on désigne par P la probabilité entière que cela aura lieu, on aura, par le numéro précédent,

fxPdx zi[i — x]i ~ fxP dx{i — x)f

les intégrales du numérateur et du dénominateur étant prises depuis X = o jusqu'à X =: i.

Si l'on nomme a la valeur de œ qui rend 3oPz'{i — x)^ un maximum

,, j, . rj dZ d'^Z j . , dz d^z ,

et que 1 on désigne parZ, -r-* -r-^ ce que deviennent z, -1-, ^— , lorsqu'on y change x en a, on aura, par le n° 26,

fxPdx z^[\— x]i

, . ,, ,dZ^-Zd^Z

z étant la somme des n premiers termes de la fonction ^2n 1 + 2/1 i \ ^^ -J~ + . . .

on a, par le n° 37 du Livre P',

l'intégrale du numérateur étant prise depuis ?« = -^^^ jusqu'à w = 00

M«-' du

et celle du dénominateur étant prise depuis 11 = 0 jusqu'à u — cc. Soit u = -^^—■, cette valeur de z deviendra

l'intégrale du numérateur étant prise depuis ^ — o jusqu'à s = ûo, et celle du dénominateur étant prise depuis s = o jusqu'à 5 = i . De là on

tire

dz x"{i — x)"-' zdx ^ fsnds[i — «)«-''

l'intégrale du dénominateur étant prise depuis .y = o jusqu'à s = x. On

aura ensuite

d^z dz n — (sn — i)^

z dx'^ zdx x[i — x)

En changeant .r en a dans ces expressions, on aura celles de Z, dZ d^Z

Z dx Z dx^

Pour déterminer a, nous observerons que la condition du maximum

de .r^5'( I — x)f donne

p a . dz

a i — a Z dx

d'où l'on tire, en substituant pour y-r- sa valeur précédente,

P + q [p-^- q)fs^ds[i — s)'^-*

l'intégrale du dénominateur étant prise depuis ^ = o jusqu'à s — a. Pour conclure a de cette équation, nous observerons que la valeur de s qui rend ^"(i — sY~* un maximum est à très peu près ^, et par conséquent moindre que — ^ — , qui lui-même est plus petit que a. Ainsi, n

étant supposé un grand nombre, on peut, sans erreur sensible, étendre l'intégrale de cette expression de a, depuis ^ = 0 jusqu'à 5 = 1, le