LIVRE PREMIER

a étant égal â f Ij — i], \e coefficient de f" dans le développement

de uy. est, par le n** 2, ^y^-rl ce même coefficient dans ux^ est A-yx-2r» et ainsi de suite. L'équation précédente donnera donc, en repassant des fonctions génératrices aux coefficients,

4. Voici maintenant une méthode générale d'interpolation, qui a l'avantage de s'appliquer, non seulement aux séries dont les différences des termes finissent par être nulles, mais encore aux séries dont la dernière raison des termes est celle d'une suite quelconque récurrente.

Supposons d'abord que l'on ait

et cherchons la valeur de -. dans une suite ordonnée par rapport aux puissances de z. Il est clair que -. est égal au coefficient de ¥ dans le développement de la fraction r* Si l'on multiplie le numérateur et

le dénominateur de cette fraction par i — 8/, on aura celle-ci

I— et

L'équation (i) donne

ce qui change la fraction précédente dans celle-ci,

1 — dt

or on a

I I ZB Z202

d'ailleurs le coefficient de O** dans le développement de ^.^ est

d'où il suit que le coefficient de 8' est : i° « ■+• i dans le développement de 7 — î^— ; 2° ^--^ — ^^ — ~ dans le développement de , ^ttt»

3** ~ — o / g"^ dans le développement de -r-—-K<r-^'> et

ainsi du reste; donc, si l'on nomme Z le coefficient de 6' dans le développement de la fonction

on aura

ou

si l'on nomme ensuite Z' le coefficient de 6' dans le développement de

[\-BY-zB on aura Z' en changeant i en i — i dans Z, ce qui donne

Z' = ,• I , + iiîi^ + iili^'î^iili! + . . .],