LIVRE PREMIER

on aura ainsi Z — tZ' pour le coefficient de G' dans le développement

de la fraction

\ — Bt

ce sera par conséquent l'expression de -.; partant,

l = u[Z-tZ'). '

Cela posé, le coefficient de t"^ dans -. est yxw Ce même coefficient, dans un terme quelconque de wZ tel que kuz'' ou kufi- ~ i j , est, par le n*^ 2, kA^' y^.r. Dans un terme quelconque de utZ', tel que kutz'^ owkuf^^i^ — ij , ce coefficient est kùî^''y^r-\'i ^^ aura donc, en repassant des fonctions génératrices à leurs coefficients,

On peut donner les formes suivantes à l'expression précédente. Soit Z" ce que devient Z' lorsqu'on y change i dans « — i, et par conséquent ce que devient Z lorsqu'on y change i dans i — i. L'équation

donnera

par conséquent.

En ajoutant ces deux valeurs de - et prenant la moitié de leur somme,

-tl'

^=iZ-^Z" + i(i + o(7-i)z';

or on a

partant,

+ -mH- ^

d'où l'on conclut, en repassant des fonctions génératrices aux coefficients, ? '

/ ^ i. 2. 3. 4. 5. 6 ^rx-3-f----

Cette formule sert à interpoler entre un nombre impair ix -\- 1 de quantités équidistantes ; l'intervalle commun qui les sépare étant pris pour unité, j^ est la moyenne des grandeurs y^, j, , jo» • • • » y2x^ et i est la distance de j^r+i à cette moyenne. L'expression précédente est alors symétrique relativement à ces grandeurs ; car àî^yx-\ > par exemple, est égal ^^ yx^\ — ^yx + Yx-i^ et Aj^h-Aj^, est égal à Yx^K — yx-\- Ainsi les quantités placées au-dessus et au-dessous de la moyenne y^; entrent de la même manière dans cette expression.

Si l'on change i en i -t- i dans la dernière expression de-o et si l'on

en retranche cette expression elle-même, on aura l'expression de

11+ i on aura

qrr — -, OU de -(- — I ); en divisant ensuite cette valeur par- — i,

,^(i±i)!^,fi,

,Lii±il!:^m!iii)l^.(-,)V...)

En repassant des fonctions génératrices aux coefficients, on aura

A5 Jx-3 H-

Cette formule sert à interpoler entre un nombre pair :2x de quantités équidistantes, r^ et ya;+i étant les deux quantités moyennes. Elle est disposée d'une manière symétrique relativement aux quantités également distantes du milieu de l'intervalle qui sépare les quantités extrêmes : ce milieu est l'origine des valeurs de «H- \, qui sont positives au-dessus et négatives au-dessous.

Toutes ces expressions de y^+t sont identiques et telles que, si l'on conçoit une courbe parabolique dont «soit l'abscisse et j^^+t l'ordonnée, et dont l'équation soit celle qui donne l'expression de yx+h cette courbe passera par les extrémités des ordonnées 7^, yx+^, Jx+27 •••» J^-o

/a;2, On peut ainsi, en prenant les différences finies successives

d'un nombre quelconque d^ coordonnées, faire passer une courbe parabolique par les extrémités de ces coordonnées.

OEuvres de L. — VH. 3