LIVRE IL U

qiient, est égale à

l'intégrale étant prise depuis rj = — tc jusqu'à vs = t:.

Si l'on prend dans cette intégrale le logarithme hyperbolique de la quantité sous le signe /, élevée à la puissance n, on aura, en développant les exponentielles en séries, ce logarithme égal à

le signe / se rapportant ici à toutes les valeurs de ^, depuis œ = o jusqu'à x = a. Si l'on fait - = oc', et si l'on observe que, la variation de X étant l'unité, on a adx'= i , on aura

les intégrales relatives à x' étant prises depuis x'= o jusqu'à x'= i. Nommons k, k\ k'% . . . ces intégrales successives; la probabilité que la durée de la vie d'un enfant sera comprise dans les limites zéro et a est

/<p(- j ouafdx'(^{x'); or cette probabilité est la certitude elle-même;

on a donc ak = i. Cela posé, la fonction (2) devient

ou

npcry'— I + n logl i— y-acr v— 1 — -y^ • +.

(nix nk'\ , kk"-k'^ , ,

OEuvret de L. — y\\. 53

Si l'on fait

ah' an-' ^j,

la première puissance de cy disparaît, et de plus, n étant supposé un très grand nombre, on peut s'arrêter à la seconde puissance de ct; la fonction (i) devient ainsi, en repassant des logarithmes aux nombres,

— /anse ^*

Si l'on fait

,2 k- aujsjn ê/\/— I

' - '^[kk"-k'^-) ' - ~^& ^"^r

cette intégrale devient, en la prenant depuis i =— yo jusqu'à ^ = 00,

a ^JriTC En la multipliant parc?/, et faisant l=ar\jn, on aura