VÎT

pour la probabilité que la somme des âges auxquels les n enfants parviendront sera comprise dans les limites na-k'±arsjn.

La quantité a^k' ou /o^çf - j est la somme des produits de chaque

âge par la probabilité d'y parvenir; elle est donc la vraie durée de la vie moyenne; ainsi la probabilité que la somme des âges auxquels les n enfants cesseront de vivre, divisée par leur nombre, est comprise dans ces limites

Vraie durée de la vie moyenne, plus ou moins -=>

a pour expression

La valeur moyenne de r, en plus ou en moins, est, par le n'^ 20,

l'intégrale étant prise depuis r = o jusqu'à r infini. En la multipliant par -=? on aura l'erreur moyenne à craindre en plus ou en moins, lors-

qu'on prend pour durée moyenne de la vie la somme des âges qu'ont vécu les n enfants considérés ci-dessus, divisée par n, quotient que nous désignerons par G; cette erreur est donc

On a, à très peu près,

et, comme ak=^i, on aura

Si l'on nomme ensuite H la somme des carrés des âges qu'ont vécu les n enfants, divisée par n, on trouvera, par l'analyse du n" 19,

le"

ces valeurs donnent

l'erreur moyenne à craindre en plus ou en moins sur la durée de la vie devient ainsi

II est clair que ces résultats ont également lieu relativement à la durée moyenne de ce qui reste à vivre, lorsque, au lieu de partir de l'époque de la naissance, on part d'une époque quelconque de la vie.

On peut facilement déterminer, au moyen des Tables de mortalité, formées d'année en année, la durée moyenne de ce qui reste à vivre à

une personne dont l'âge est d'un nombre entier A d'années. Pour cela, on ajoutera tous les nombres de la Table qui suivent celui qui correspond à l'âge A; on divisera la somme par ce dernier nombre, et l'on ajoutera { au quotient. En effet, si l'on désigne par (i), (2), (3), ... les nombres de la Table, correspondants à l'année A et aux années suivantes, le nombre des individus qui meurent dans la première année, à partir de l'année A, sera (1) — (2); mais, dans ce court intervalle, la mortalité peut être supposée constante; ^[(i) — (2)] est donc la somme des durées de leur vie, à partir de l'âge A. Pareillement IK^) ~ (^)]' f [(^) "~ (^)]' • • • ^^^^ ^^^ sommes des durées de la vie, à partir du même âge, de ceux qui meurent dans les deuxième, troisième, etc., années comptées depuis l'année A. La réunion de toutes

ces sommes est — -+- (2) -+- (3) -h (4) ^-. • •; et, en la divisant par (i),

on aura la durée moyenne de ce qui reste à vivre à la personne de l'âge A. On formera ainsi une Table des durées moyennes de ce qui reste à vivre aux différents âges. On pourra même conclure ces durées les unes des autres, en observant que, si F désigne cette durée pour l'âge A, et F' la durée correspondante à l'âge A H- i , on a

36. Déterminons maintenant la durée moyenne de la vie qui aurait lieu, si l'une des causes de mortalité venait à s'éteindre. Soit U le nombre des enfants qui, sur le nombre n de naissances, vivraient encore à l'âge ce dans cette hypothèse, u étant celui des enfants vivants à cet âge sur le même nombre de naissances, dans le cas où cette cause de mortalité subsiste. Nommons zAx la probabilité qu'un individu de l'âge 00 périra de cette maladie dans l'intervalle de temps très court Aa?; uz Aa; sera, à très peu près, par le n^ 25, le nombre des individus u qui périront de cette maladie dans l'intervalle de temps Ax, si ce nombre est considérable. Pareillement, si l'on désigne par (pA^ la probabilité qu'un individu de l'âge x périra par les autres causes de mortalité dans l'intervalle Ao?, ua^àx sera le nombre des individus qui périront

par ces causes, dans l'intervalle de temps Aa?; ce sera donc la valeur

de — Aw; j'affecte Aa du signe —, parce que u diminue à mesure que x

augmente; on a donc

— Am = m Ar(<p -\- z).

On aura pareillement

- AU = u<p ^x.

En éliminant 9 de ces deux équations, on aura

AU Am U u

^x étant une quantité très petite, on peut transformer la caractéristique A dans la caractéristique différentielle d, et alors l'équation précédente devient

fl?U du ,

-rr = \- Zdx\

d'où l'on tire, en intégrant et observant qu'à l'âge zéro U = m = /?,

(3) U = acJ'^''-^,

l'intégrale étant prise depuis x nul. On peut obtenir cette intégrale, au moyen des registres de mortalité, dans lesquels on tient compte de l'âge des individus morts et des causes de leur mort. En effet, uzù^x étant, par ce qui précède, le nombre de ceux qui, parvenus à l'âge x, ont péri dans l'intervalle de temps Ax, par la maladie dont il s'agit, on aura à très peu près l'intégrale Jzdx, en supposant Aa? égal à une année, et en prenant depuis la naissance des n enfants que l'on a considérés, jusqu'à l'année x, la somme des fractions qui ontpour numérateur le nombre des individus que la maladie a fait périr cbaque année, et pour dénominateur, le nombre des n enfants qui vivent encore au milieu de la même année. Ainsi l'on pourra transformer, au moyen de l'équation (3), une Table de mortalité ordinaire, dans celle qui aurait lieu si la maladie dont il s'agit n'existait pas.

La petite vérole a cela de particulier, savoir, que le même individu n'en est jamais deux fois atteint, ou du moins ce cas est si rare, que.

s'il existe, on peut en faire abstraction. Concevons que, sur un très grand nombre n d'enfants, u parviennent à l'âge x, et que, dans le nombre u, y n'aient point eu la petite vérole. Concevons encore que sur ce nombre y, iydx prennent cette maladie dans l'instant dx, et que, sur ce nombre, irydx périssent de cette maladie. En désignant, comme ci-dessus, par «p la probabilité de périr à l'âge x par d'autres causes, on aura évidemment

du=^ — f/ cp dx — iry dx.

On aura ensuite

(// = — ya^dx — iy dx.

En effet, y diminue par le nombre de ceux qui, dans l'instant dx, prennent la petite vérole, et ce nombre est, par la supposition, iydx\ y diminue encore par le nombre des individus compris dans y, qui périssent par d'autres causes, et ce nombre est j<p</^.

Maintenant, si de la première des deux équations précédentes, multipliée par j, on retranche la seconde multipliée par m, et si l'on divise la différence par y-, on aura

d - ^=^i- dx — ir dx,

ce qui donne, en intégrant depuis x nul, et observant qu'à cette origine u=^y T=in,

(4) " = [i-firdxc-Sidx^c^idx.

cette équation fera connaître le nombre d'individus de l'âge x qui n'ont point encore eu la petite vérole. On a ensuite

z dx =

ir y dx

uzdx étant, comme ci-dessus, le nombre de ceux qui périssent dans le temps dx, de la maladie que l'on considère. En substituant, au lieu