LIVRE II

insensibles les termes dépendants des puissances de ct, supérieures au carré. En repassant donc des logarithmes aux nombres dans le développement précédent, le produit (b) devient à très peu près

ce qui change l'intégrale («) dans celle-ci

I ^ , -/•CTvA-i-^S7(0(i-9«)v('>

— I av3 C *

L'intégrale devant être prise depuis u = — -r: jusqu'à ts = -, et Sq^^^{i — çf^'^jv^'^^ étant un grand nombre de l'ordre 5, il est clair que cette intégrale peut être étendue sans erreur sensible jusqu'aux valeurs infinies positives et négatives de u. En faisant donc

/"Sg(0(i— g(/))v(t)2

et intégrant depuis t =—- ce jusqu'à t = <x>, l'intégrale (a) devient

^2 7rS^('')(l — 9('))v(02

Si l'on multiplie cette quantité par 2dl\ et qu'ensuite on l'intègre

depuis /'= o, cette intégrale sera l'expression de la probabilité que le

bénéfice de A sera compris dans les limites /± /', ou Sg^'^v^'^ ± /'; en

faisant ainsi

l'=zr v/2S^(')(i — g('^)v(')2,

la probabilité que le bénéfice de A sera compris dans les limites

est

-^fdrc-r^,

l'intégrale étant prise depuis r= o.

Maintenant il faut, par ce qui précède, changer dans les limites pré-

cédentes v^'^ dans v^'^ H- j^/'^ et en retrancher Sj^/'^; la probabilité que le bénéfice réel de A sera compris dans les limites

est donc

^fdrc-r\

sJtc

On voit par cette formule que, pour peu que l'espérance mathématique de chaque événement surpasse zéro, en multipliant les événements à l'infini, le premier terme de l'expression des limites étant de l'ordre s, tandis que le second n'est que de l'ordre sjs, le bénéfice réel s'accroît sans cesse et devient à la fois infiniment grand et certain, dans le cas d'un nombre infini d'événements.

39. Considérons maintenant le cas où, à chaque événement, la personne A a un nombre quelconque de chances à espérer ou à craindre. Supposons, par exemple, qu'une urne renferme des boules de diverses couleurs, que l'on tire une boule de cette urne, en la remettant dans l'urne après le tirage, et que le bénéfice de A soit v si la boule extraite est de la première couleur, qu'il soit v' si la boule extraite est de la deuxième couleur, qu'il soit v" si la boule extraite est de la troisième couleur, et ainsi de suite, les bénéfices devenant négatifs lorsque A est forcé de donner au lieu de recevoir. Nommons a, a', a", ... les probabilités que la boule extraite à chaque tirage sera de la première, ou de de la deuxième, ou de la troisième, etc. couleur, et supposons que l'on ait ainsi s tirages; on aura d'abord

En multipliant ensuite les termes du premier membre de cette équation, respectivement par c^^^/^', c^''^^\ c^'^v^ « , ...^ le terme indépendant des puissances de c^v^"^, dans le développement de la fonction

sera, par ce qui précède, la probabilité que, dans s tirages, le bénéfice de A sera si>.-i-l; cette probabilité est donc égale à

l'intégrale relative à ct étant prise depuis ct=:— tu jusqu'à cy = -. Si l'on développe par rapport aux puissances de cy le logarithme hyperbolique de la quantité élevée à la puissance s sous le signe /, et si l'on observe que a + a' + a"H-. . .= i, on aura, pour ce logarithme,

CT y/— I (av -+-a'v'+ a"v" + . • . — p.)

On fera disparaître la première puissance de ct, en faisant

y. z= av ->(- a v' -\- a" v" -\- . . .; si l'on suppose ensuite

2 A-2 = «v2 + a'v'2 + a"v"2 + . . . — (av H- a'v' -I- a"v" + . . .)^

et si l'on observe que, s étant supposé un grand nombre, on peut négliger les puissances de o supérieures au carré, on aura, en repassant des logarithmes aux nombres, s

ce qui change l'intégrale [c) dans celle-ci

qui devient, en intégrant comme dans le numéro précédent,

2 A- ^sv:

En la multipliant par 2dl et intégrant le produit depuis /= o, on aura

OEuvres de L. — VU. 55

la probabilité que le bénéfice réel de A sera compris dans les limites

s(av + «'v' + a"v"4-...)±^-

l:=zikr^ \Js,

cette probabilité sera, en prenant l'intégrale depuis r'=: o,

~Sdr^c-r\