LIVRE IL

u! y f^)' ••• Ï6S valeurs de m, -7^» •••> correspondantes 2. x ~ \ et à

a? = n 4- I ; on aura

^l[u)-pn[u')-\

^ 1.2.(1— ^9)3 LV^^v ^ \</^vj

Si M ou — est constant et égal à l'unité, depuis x = i jusqu'à x = n,

alors la rente viagère doit être payée certainement pendant le nombre

n d'années, et elle devient une annuité. Dans ce cas, -7- est nul, et la

dx

formule précédente donne pour le capital équivalent à l'annuité h.

Si u=\ î alors la probabilité de la vie décroît en progression

arithmétique, et la formule précédente donne

pour le capital équivalent à la rente viagère k, et ainsi de suite.

Supposons maintenant que l'on veuille constituer une rente viagère A sur plusieurs individus des âges A, A •+ «, A -+- a -i- a', . . ., de sorte que la rente reste au survivant. Désignons par y^, fx+a^ yx+a+a* • • • les nombres de la Table de mortalité, correspondants aux âges A, A H- a, A H- <2 -h «', . . ., la probabilité qu'a le premier individu de vivre

à l'âge A H- ^ étant — > la probabilité qu'à cet âge il aura cessé de vivre est i — •^' Pareillement, la probabilité qu'a le deuxième individu de vivre à l'âge A -t- a -t- a; ou à la fin de la a?^^™^ année de la constitution de la rente étant ^^^^±^, la probabilité qu'il aura cessé de vivre

Ta

alors est 1 — -^^^^^-^ la probabilité que le troisième individu aura cessé

Ta

de vivre, à la même époque de la constitution de la rente, est

Tx+r.

-, et ainsi de suite. La probabilité qu'aucun de ces individus

n'existera à cette époque est donc

En retranchant ce produit de l'unité, la différence sera la probabilité qu'un de ces individus au moins sera vivant à la fin de la a?'"°^ année de la constitution de la rente. Nommons u cette probabilité; Ihp^u sera le capital actuel équivalent à la rente viagère A. Mais on doit observer, en prenant cette intégrale, que les quantités y^y fx+a* • • • sont nulles, lorsque leurs indices x, x -i-a, ... surpassent le nombre n, A 4- /i étant la limite de la vie.

Sija; Gst une fonction rationnelle et entière de x, et d'exponentielles telles que ^^, r^, . . ., on aura facilement, par les formules du Livre I", l'intégrale hlp'^u; mais on peut dans tous les cas former, au moyen d'une Table de mortalité, tous les termes de cette intégrale, en prendre la somme et construire ainsi des Tables de rentes viagères sur une ou plusieurs têtes.

L'analyse précédente sert pareillement à déterminer la rente viagère que l'on doit faire à un établissement pour assurer à ses héritiers un capital après sa mort. Le capital équivalent à la rente viagère h, faite

à une personne de l'âge A, est, par ce qui précède, AS ^-^i le signe S

comprenant tous les termes inclusivement, depuis x = i jusqu'à la limite de la vie de la personne. Nommons hq cette intégrale, et imaginons que l'établissement reçoive de cette personne la rente h, et lui donne en échange le capital hq. Concevons ensuite que la même personne place ce capital à intérêt perpétuel sur l'établissement lui-même,

l'intérêt annuel de l'unité étant r ou - — ^- Il est clair aue l'établisse-

ment doit rendre le capital hq aux héritiers de la personne. Mais elle a fait pendant sa vie la rente h à l'établissement, et elle en a reçu la rente

-ïi RI- la rente qu'elle a faite réellement est donc Ai — ^^^~Ej •

c'est donc ce qu'elle doit donner annuellement à l'établissement pour assurer à ses héritiers le capital hq.

Je n'insisterai pas davantage sur ces objets, ainsi que sur ceux qui sont relatifs aux établissements d'assurance de tout genre, parce qu'ils ne présentent aucune difficulté. J'observerai seulement que tous ces établissements doivent, pour prospérer, se réserver un bénéfice et multiplier considérablement leurs affaires, afin que, leur bénéfice réel devenant presque certain, ils soient exposés le moins qu'il est possible à de grandes pertes qui pourraient les détruire. En effet, si le nombre des affaires est s et si l'avantage de l'établissement dans chacune d'elles est b, alors il devient extrêmement probable que le bénéfice réel de l'établissement sera sh, s étant supposé un très grand nombre.

Pour le faire voir, supposons que s personnes de l'âge A constituent, chacune sur sa tête, une rente viagère h, et considérons une de ces personnes que nous désignerons par C. Si C meurt dans l'intervalle de la fin de l'année x écoulée depuis la constitution de sa rente à la fin de l'année <rH- i, l'établissement lui aura payé la rente h pendant X années, et la somme de ces payements, réduite en capital actuel, sera h(p -\- p"^ -h...H-/?'^) ou Ihp^-^^; or la probabilité que C mourra

dans cet intervalle est^^^^^ — ^^^^^ ou —\ la valeur de la perte que

l'établissement doit alors supporter est donc —-1hp^'^\ La somme

de toutes ces pertes est

(r) ^^{^^^hp^^s

c'est le capital que G doit verser à la caisse de l'établissement pour en recevoir la rente viagère h. On peut observer ici que l'on a

en intégrant le second membre de cette équation, la fonction [r) se réduit à

or 2/?"^ se réduit à zéro, lorsque œ = i, et lorsque oo = n-h i, y a: est nul par ce qui précède ; la fonction (r) ou le capital que C doit payer à

l'établissement est donc — '7^^' ce qui est conforme à ce qui précède.

Mais sous la forme de la fonction [r) on peut appliquer au bénéfice de l'établissement l'analyse du n" 39. En effet, on a dans ce cas, par le numéro cité,

an -h rt V -t-rt V 4-

ro

Ihp^

ensuite a, a,... étant les valeurs successives de —-, on aura

av2 -f-a'v'2

[l.hp^

en sorte que

En supposant que chacune des s personnes qui constitue la rente h sur sa tête verse à la caisse de l'établissement, outre le capital correspondant à cette rente, une somme è, pour subvenir aux frais de l'établissement, on aura, par le n'' 39,

pour la probabilité que le bénéfice réel de l'établissement sera compris

dans les limites

sb ±"2. kr' \ls .

Ainsi, dans le cas d'un nombre infini d'affaires, le bénéfice réel de l'établissement devient certain et infini. Mais alors ceux qui traitent avec lui ont un désavantage mathématique qui doit être compensé par un avantage moral, dont l'appréciation va être l'objet du Chapitre suivant.