LIVRE II

ainsi, quelque petite que soit l'espérance mathématique relative à chaque événement, le bénéfice réel devient à l'infini, certain et infiniment grand, lorsque le nombre des événements passés est supposé infini, comme celui des événements futurs.

40. Nous allons maintenant déterminer les bénéfices des établissements fondés sur les probabilités de la vie humaine. La manière la plus simple de calculer ces bénéfices est de les réduire en capitaux actuels. Prenons pour exemple les rentes viagères. Une personne de l'âge A veut constituer sur sa tête une rente viagère h\ on demande le capital qu'elle doit pour cela donner à la caisse de l'établissement qui lui fait cette rente.

Si l'on nomme jo ^^ nombre des individus de l'âge A dans la Table de mortalité dont on fait usage, ^iyx le nombre des individus de l'âge A -f-£c, la probabilité de payer la rente à la fin de l'année A + ^ sera

— ; par conséquent, la valeur du payement sera -^- Mais, si l'on

désigne par r l'intérêt annuel de l'unité, en sorte que le capital i devienne i-h r après un an, il deviendra (i-hr)^ après x années; ainsi, le payement ( i-t- r)^ fait à la fin de la ^c'^™^ année, réduit en capital actuel, devient l'unité, ou ce même payement divisé par (i + r)^; le payement

-^ réduit en capital actuel est donc — , ^ • La somme de tous

les payements faits pendant la durée de la vie de la personne qui constitue la rente et multipliés par leur probabilité équivaut donc à un capital actuel représenté par l'intégrale finie

la caractéristique 2 devant embrasser toutes les valeurs de la fonction qu'elle aff'ecte.

On peut déterminer cette intégrale en formant toutes ces valeurs d'après la Table de mortalité, et en les ajoutant ensemble; on déduira ensuite les capitaux les uns des autres, en observant que, si l'on

nomme F le capital relatif à l'âge A et F' le capital relatif à l'âge A + r

on a

j4 ¥'-hh

Xo 14- '*

Mais ce procédé se simplifie lorsque la loi de mortalité est connue, et surtout lorsqu'elle est donnée par une fonction rationnelle et entière de X, ce qui est toujours possible, en considérant les nombres de la Table de mortalité comme des ordonnées dont les âges correspondants sont les abscisses, et en faisant passer une courbe parabolique par les extrémités des deux ordonnées extrêmes et de plusieurs ordonnées intermédiaires. Les différences qui existent entre les diverses Tables de mortalité permettent de regarder ce moyen comme aussi exact que ces Tables, et même de s'en tenir à un petit nombre d'ordonnées. Faisons

! + '• ro

reprenons la formule (i6) du n° H du Livre P' qui donne

/étant une constante arbitraire. Il faut, dans le développement du

premier terme du second membre de cette équation par rapport aux

^ du ^ . , f diiy- j rf'M

puissances de -t-î changer une puissance quelconque ( ^- ) dans ^— ^.»

et multiplier par u le premier terme, qui est indépendant de -r-- On a

dx

ainsi

l,pj^u=i f ^ —

P^^'tîz

du

dx

(l — /7)2 I.2,(l— /))3 dx^

Pour déterminer /, on observera que l'intégrale Ip'^u est nulle lorsque x = j, et qu'elle se termine lorsque ^r = /n- i , A-h n étant la limite de la vie; car alors elle embrasse les termes correspondants

à tous les nombres i, 2, 3, . . ., n. Désignons donc par (w), (^ )' •••'