LIVRE II. U
De là résultent plusieurs conséquences importantes. L'une d'elles est que le jeu mathématiquement le plus égal est toujours désavantageux. En effet, si l'on désigne par a la fortune physique du joueur avant de commencer le jeu; par p sa probabilité de gagner, et par jx sa mise,
celle de son adversaiie doit être, pour l'égalité du jeu, ^~-^^; ainsi
le joueur gagnant la partie, sa fortune physique devient a -f- -— -^ a,
et la probabilité de cela est/?. S'il perd la partie, sa fortune physique devient a — jz, et la probabilité de cela est i — />; en nommant donc X sa fortune physique, en vertu de son expectative, on aura, par ce qui
précède,
or cette quantité est plus petite que a, c'est-à-dire que l'on a
ou, en prenant les logarithmes hyperboliques,
/, log^n- 1^ ^) + (i -p) log^i- ^j <o.
Le premier membre de cette équation peut être mis sous la forme
quantité qui est évidemment négative.
Il résulte encore de l'analyse préxîédente qu'il vaut mieux exposer sa fortune par parties à des dangers indépendants les uns des autres, que de l'exposer tout entière au même danger. Pour le faire voir, supposons qu'un négociant, ayant à faire venir par mer une somme e, l'expose sur un seul vaisseau, et que l'observation ait fait connaître la probabilité p de l'arrivée d'un vaisseau du même genre dans le port ; l'avantage mathématique du négociant, résultant de son expectative,
sera/?£. Mais, si l'on représente par l'unité sa fortune physique, indépendamment de son expectative, sa fortune morale sera, par ce qui
précède,
kp log(i -I- e) + logA,
et son avantage moral sera, en vertu de son expectative,
(i-:-£)/'-i, quantité plus petite que pz\ car on a
puisque log(i -i- i)p ou p log(n- s) est moindre que log(i-i-/?£), ce qui est évident, lorsqu'on met ces deux logarithmes sous les formes t/e
Çt^ et T-^
pt
Supposons maintenant que le négociant expose la somme s, par parties égales, sur r vaisseaux. Sa fortune physique deviendr-a ? -;- s, si tous les vaisseaux arrivent, et la probahilité de cet événement est/?'". Si r — I vaisseaux arrivent, la fortune physique du négociant devient
i-\-- —•) et la prohabilité de cet événement est rp^~^(\ — p).
Si r— 2 vaisseaux arrivent, la fortune physique du ncgociani, devient
i-l- ^- — -z, et la probabilité de cet événement est ~ P''~^(^ ~ PT^
et ainsi de suite; la fortune morale du négociant est donc, par ce qui précède,
pf" log(i 4- s) + rf-^ (i —p) log ( 1 +
^r-2(,^)2 1og I
-;- logA,
expression que l'on peut mettre sous cette forme
r — I ) pf"-^ (i — y) , [r — i) {r— i) p'
[a] kp Cdz r ^^
logy
Si l'on retranche de cette expression celle de la fortune morale du né-
