LIVRE II

probabilités p et i ~p\ que le premier témoin ne trompe pas et que le second trompe, sera la probabilité de l'événement observé ou de renonciation de la sortie des n"^ i et i', dans cette hypothèse, probabilité qui est ainsi ^; ~^ • ^ n[n — I )

Dans la seconde hypothèse, le premier témoin trompe et le second ne trompe pas. Alors le n'^i' est sorti, et la probabilité de cet événement

est -• De plus, le premier témoin choisit le n^ i sur les /z — i numéros

non sortis, et la probabilité de ce choix est -^^ — En multipliant le

produit de ces deux probabilités par le produit des probabilités i — p et p', que le premier témoin trompe et que le second ne trompe pas,

on aura >~—^-'^ .

Enfin, dans la troisième hypothèse, les deux témoins trompent à la

fois. Alors aucun des deux numéros ? et i' n'est sorti. La probabilité de

cet événement est ~ • De plus, le premier témoin doit choisir le

n" i, et le second doit choisir le n" i', parmi les w — i numéros non

sortis, et la probabilité de cet événement composé est ^^ — zr~\î' ^^ ^"^"

tipliant le produit de ces deux probabilités par le produit des probabilités I — /? et I —p' que le premier et le second témoin trompent, on

aura — f "L^^T ~^ P®^'' ^^ probabilité de l'événement observé,

dans cette hypothèse.

Maintenant on aura la probabilité de la sortie du n° i, en divisant la probabilité relative à la première hypothèse par la somme des probabilités relatives aux trois hypothèses; la probabilité de cette sortie est donc

I — pp — f-^ î— ^

Si /i = 2, c'est-à-dire si l'existence de chaque fait attesté par les deux témoins est a priori aussi probable que sa non-existence, alors la pro-

OEuvres de L. — VU. 59

habilité précédente devient ^, lorsque p=:p\ ce qui est visible d'ailleurs, les deux témoignages se détruisant réciproquement. En général, si un fait de ce genre est attesté par r témoins et nié par r' témoins, tous également véridiques, il est facile de voir que sa probabilité sera

pr-r'

c'est-à-dire la même que si le fait était attesté par r — r' témoins.

48. Considérons présentement une chaîne traditionnelle de r témoins, et supposons que le fait transmis soit la sortie du n" i d'une urne qui renferme n numéros. Désignons par y^ sa probabilité. L'addition d'un nouveau témoin changera cette probabilité en yr+^y probabilité qui sera formée : i° du produit de jr pai" ïa véracité du nouveau témoin, véracité que nous désignerons par/?;.^.^; 2° du produit de la probabilité i — Pr+\ que ce nouveau témoin trompe, par la probabilité I — j^que le témoin précédent n'a pas dit la vérité, et par la probabilité que le nouveau témoin choisira le numéro sorti, dans le

nombre des n — i numéros autres que celui qui lui a été indiqué par le témoin précédent; on aura donc

équation dont l'intégrale est

^ ' , r [npt — y)[np<i — i) . . . [npr—i] '' n [n — \Y

C étant une constante arbitraire. Pour la déterminer, on observera que la probabilité du fait, d'après le premier témoignage, est, par ce qui

précède, égale à /?, ; on a donc y^ — p^, ce qui donne G = ; partant

V — 1 -4- '?-""J {npi — i)[npi- i)...[npr-i]

'^'' n n in — i]'-