LIVRE II

Si n est infini, on a

Si n = 1, c'est-k-dire si l'existence du fait est aussi probable que sa non-existence, on a

rr=\^^A'^Pi-'^)['>-p-.-l) ...[•^pr-l).

En général, à mesure que la chaîne traditionnelle se prolonge, j,. approche indéfiniment de sa limite -> limite qui est la probabilité,

a priori, de la sortie du n° i. Le terme ^ npK—^ ' ^,^ ^^ l'expression

de/,, est donc ce que la chaîne des témoins ajoute à cette probabilité. On voit ainsi comment la probabilité s'affaiblit à mesure que la tradition se prolonge. A la vérité, les monuments, l'imprimerie et d'autres causes peuvent diminuer cet effet inévitable du temps; mais ils ne peuvent jamais entièrement le détruire.

Si l'on a deux chaînes traditionnelles, chacune de r témoins, si l'on suppose les témoins de ces chaînes également véridiques et si le dernier témoin de l'une des chaînes s'accorde avec le dernier de l'autre à affirmer la sortie du n" ?, on aura la probabilité de cette sortie, en substituant y^ pour/? et/?' dans la formule (o) du numéro précédent, qui devient par là

ri

49. Considérons deux témoins dont/? et/?' soient les véracités respectives. On sait que tous deux ou du moins l'un d'eux, sans être contredit par l'autre qui, dans ce cas, n'a point prononcé, affirment que le n° i est sorti d'une urne qui en renferme le nombre n. En supposant toujours qu'on n'a extrait qu'un seul numéro, on demande la probabilité de la sortie du n° i.

Soient r et r' les probabilités respectives que les témoins prononcent. On ne peut faire ici que les quatre hypothèses suivantes : i° les deux témoins prononcent et disent la vérité ; oP les deux témoins prononcent

et trompent; 3*^ l'un des témoins prononce et dit la vérité, et l'autre témoin ne prononce pas; 4° l'un des témoins prononce et trompe, et l'autre ne prononce point.

Dans la première hypothèse, le n° i est sorti, et la probabilité de cet

événement est --il faut la multiplier par le produit des probabilités r

et r' que les deux témoins ont prononcé, et par le produit des probabilités p et p' qu'ils disent la vérité; on aura ainsi

pp'.rr^ n

pour la probabilité de l'événement observé, dans cette hypothèse.

Dans la deuxième, le n° «n'est pas sorti, et la probabilité de cet événement est — ^— . Mais, si les deux témoins trompent sans s'entendre, la probabilité qu'ils s'accorderont à énoncer le même n" i est -, — - — rz-

f ^ ^fl — ij2

Il faut multiplier le produit de ces probabilités par la probabilité //que les deux témoins prononcent à la fois, et par la probabilité (i—/?)(i —p') qu'ils trompent tous deux. On aura ainsi

{^-p){^~P')rr'

pour la probabilité de l'événement observé, dans la deuxième hypothèse.

Dans la troisième, le n** i est sorti, et la probabilité de cet événement

est -• Il faut la multiplier par la probabilité /?/*(i — r') -hp'r'{i — r)

que l'un des témoins pronon-ce en disant la vérité, tandis que l'autre témoin ne prononce point. On aura ainsi

pr{i— r') ■+- p'r'[i — r]

pour la probabilité de l'événement observé dans cette hypothèse. Enfin» dans la quatrième, le n° i n'est pas sorti, et la probabilité de