d'où l'on tire
équation qui coincïde avec la précédente entre y i et j , en y chan-
géant s dans ^ -1- ^, en sorte que cette équation a lieu, s étant entier ou égal à un entier plus ^.
Les deux expressions de ys-, et de - donnent
4 3^ 5^ (25-1) (25-1) ^s-^^ 7r"~2.4 4-^ (25 — 2)25 Jf-i'
les équations aux différences en j^ et j , donnent
•^Vj (25 +j]^ ^W (25 -+-1)» (25-f-3)2 -^^jj __
Jf( ~" 25(25 -+- 1) Ts ~ 25(25 + 2) (25 + 2) (25 -<- 4) X^+\ ~' ' ' '
Le rapport — - est plus grand que l'unité; il diminue sans cesse, à
mesure que s augmente, et, dans le cas de s infini, il devient l'unité. En effet, ce rapport est égal à
fdu{i — u^y-'
fdu{i — u^] ^
Or l'élément du{i — u^Y'* est plus grand que l'élément du[i — u^) ,
ou du(i — u^y~*{i — u^)'^; l'intégrale du numérateur de la fraction précédente surpasse donc celle du dénominateur; cette fraction est donc plus grande que l'unité. Lorsque s est infini, ces intégrales n'ont de valeur sensible que lorsque u est infiniment petit; car, u étant fini, le facteur ( i — w^ Y~* devient une fraction ayant un exposant infiniment
grand; on peut donc alors supposer [1 — u^y = j , ce qui rend le rapport - — ~ égal à l'unité.
Ce rapport est égal au produit d'une suite infinie de fractions, dont la première est -^ — —^^ et dont les autres s'en déduisent, en augmentant successivement 5 d'une unité; il devient -7^» en y changeant 5-
dans s -+-L et la fraction -^ — devient 7 — -^^, — - — ^i or on a,
quel que soit s,
on a donc cette inégalité
En y changeant ^ en ^ — ^, on aura
Ces deux inégalités donnent
Substituant au lieu des rapports -=^ et ^ -leurs valeurs données
^^ rs-\ r, 3
par les équations aux différences en j^, on aura
Jj l 'V 25 y 25 — 1
on aura donc
Wallis publia en 1667, dans son Arithmetica infinitorum, ce beau théo-
OEuvres de L.— ^\\. 60
rème, l'un des plus curieux de l'Analyse, par lui-même et par la manière dont l'inventeur y est parvenu. Sa méthode renfermant les principes de la théorie des intégrales définies, que les géomètres ont spécialement cultivée dans ces derniers temps, je pense qu'ils en verront avec plaisir une exposition succincte dans le langage actuel de l'Analyse.
Wallis considère la suite des fractions dont le terme général est
fr^) n et s étant des nombres entiers, en commençant par
fdx\\ — x'
zéro. En développant le binôme renfermé sous le signe intégral et intégrant chaque terme du développement, il obtient, pour une même valeur de /î, les valeurs numériques de la fraction précédente, correspondantes à^ = o,5 = i,jr = 2, ...,ce qui lui donne une série horizontale, dont s est l'indice. En supposant successivement « = o, /î = i , /i= 2, ..., il a autant de séries horizontales. Par là, il forme une Table à double entrée, dont s est l'indice horizontal et n l'indice vertical.
Dans cette Table, les séries horizontales et verticales sont les mêmes, en sorte que, en désignant par j„ ,5 le terme correspondant aux indices n et s, on a cette équation fondamentale
Wallis observe ensuite que la première série est l'unité; que la seconde est formée des nombres naturels; que la troisième est formée des nombres triangulaires, et ainsi de suite; de manière que le terme général yn,s de la série horizontale correspondante à n est
cette fraction étant égale à
on voit clairement que y„^s est égale à j^^^.
Maintenant, si Ton parvenait à interpoler dans la Table précédente le terme correspondant k n et s égaux à ^, on aurait le rapport du carré du diamètre à la surface du cercle; car le terme dont il s'agit
— est f ) ou -• Wallis cherche donc à faire cette interpola-
fdx{x-x^f ^
tion. Elle est facile dans le cas où l'un des deux nombres n et s est
un nombre entier. Ainsi, en faisant successivement s égal à un nombre
entier moins ~ dans la fonction — — ^-^ — "^j -• -[s — n^^ -^ Qj^^-jg^jj. ^^^^ ^ 1.1.6. . .n
les termes des suites horizontales, correspondants aux valeurs de s,
— i> I» I» . • .; et en faisant n égal à un nombre entier moins \ dans la
fonction ^ '-^ „ ^ " ' ^ —y il obtient tous les termes des suites
verticales, correspondants aux valeurs de /i, — |, f , Mais la difficulté consiste à trouver les termes correspondants à « et *, égaux tous deux à des nombres entiers moins ^.
Wallis observe pour cela que l'équation
Jll,S — ■
