I .2.3. . .n donne

et qu'ainsi l'on a

jn.s-\ — 5

s -^ n fn,s= — Xn.s-i;

en sorte que chaque terme d'une série horizontale est égal au précédent, multiplié par la fraction — -; d'où il suit que tous les termes d'une série horizontale, à partir de 5 =— |, ^ croissant successivement

de l'unité, sont les produits de y , par les fractions > — ^ — >

- — p- — 5 •••» et, à partir de ^ = i, ces termes sont les produits de j„,o par les fractions - — ^> - — -f "^ — » — Il suppose que les mêmes lois subsistent dans le cas de n fractionnaire et égal à |, en sorte que l'on

a tous les termes, à partir de * = — ^, en multipliant 7^^ j^ par la suite

2' 2 des fractions f, |, |, En désignant donc par a le terme correspondant h n =: ^ et s = ^, terme qui, comme on l'a vu, est égal à -> on a

i=i = fri,i, 2 2

ce qui donne

A partir de y^^ ou de l'unité, il obtient les termes successifs de la

série, correspondants à s entier, en multipliant successivement l'unité,

par les fractions f , |, |, Il forme ainsi la série horizontale suivante

qui correspond à/i=^, et à 5 successivement égal à — ^, o, i, i, |, . . .,

{i) ^D, I, D, I, ID, f.f, l-fn, ...,

série qui représente celle-ci.

fdx{i-x^]^ •^^"^^' "^'^^ fdx[i-x^y La série [i) donne généralement, s étant un nombre entier,

d'où l'on tire

Wallis considère ensuite que, dans la série («), le rapport de chaque terme à celui qui le précède d'une unité est plus grand que l'unité et diminue sans cesse, en sorte que l'on a

Cela résulte en effet de l'équation

Il suppose que cela a également lieu pour tous les termes consécutifs de la série, en sorte que l'on a les deux inégalités

d'où il tire, comme on l'a fait ci-dessus.

par là, il change la formule (B) dans la formule (A).

Cette manière de procéder par voie d'induction dut paraître et parut, en effet, extraordinaire aux géomètres accoutumés à la rigueur des anciens. Aussi voyons-nous que de grands géomètres contemporains de Wallis en furent peu satisfaits, et Fermât, dans sa correspondance avec Digby, fit des objections peu dignes de lui contre cette méthode qu'il n'avait pas suffisamment approfondie. Elle doit être, sans doute, employée avec une circonspection extrême : Wallis dit lui-même, en répondant à Fermât, que c'est ainsi qu'il s'en est servi, et, pour en confirmer l'exactitude, il l'appuie sur un calcul par lequel lord Brouncker avait trouvé, par le moyen de la formule (A), le rapport de la circonférence au diamètre, compris entre les limites

limites qui coïncident dans les dix premiers chiffres avec ce rapport que l'on a porté au delà de cent décimales. Nonobstant ces confirmations, il est toujours utile de démontrer en rigueur ce que l'on obtient par ces moyens d'invention. Wallis observe que les anciens en avaient,

sans doute, de semblables qu'ils n'ont point fait connaître, se contentant de donner leurs résultats appuyés de démonstrations synthétiques. Il regrette, avec raison, qu'ils nous aient celé leurs moyens d'y parvenir, et il dit à Fermât qu'on doit lui savoir gré de ne les avoir pas imités, et de n'avoir pas détruit le pont après avoir passé le fleuve. Il est digne de remarque que Newton, qui avait profité de cette méthode d'induction de Wallis et de ses résultats pour découvrir son théorème du binôme, ait mérité les reproches que Wallis fait aux anciens géomètres, en cachant les moyens qui l'avaient conduit à ses découvertes.

Reprenons la formule (B) de Wallis. Si l'on suppose

cette formule donnera

OU

(/) 0=L7.s[7,S — •2.)[Us— Us-k) -^ Us.

Soit

Af<) A(2) A(5)

et considérons ce que produit, dans le second membre de l'équation (/),

le terme

En n'ayant égard qu'à ce terme dans u^, on aura

Us— Us-\

5(5 + Ij[5-H 2j. . .(4+ rj'

le terme 2^(2^ — 2)(w^— Mj,) de l'équation (/) devient ainsi

— 4rA(^-)(5 — 1) («H-i)...(5 + r)*

ou

(5 + i). . .(5^- r— i) (5 + 1). ..(«-+- rj*

Le terme de Us dépendant de A^''+'^ produira des termes semblables, et ainsi des autres. En comparant donc dans l'équation (/) les termes qui ont le même dénominateur {s -h i) . . . (s -{- r), on aura

ce qui donne

Il est visible, par ce qui précède, que u^ se réduit à l'unité lorsque s est infini, ce qui donne A^"^ = i. De là on tire

"'~ ' "^ 4(5 + i) ^ 42.i.2(4 + i)(5 + ^) '^~ 43.i.2.3(5 + i)(« + ^)(5 + 3) "*" — JZ'l'

Le rapport du terme moyen du binôme (i + 1)^* au binôme entier est

OU