PREMIER SUPPLEMENT

SUR L'APPLICATION DU CALCUL DES PROBABILITÉS A LA PHILOSOPHIE NATURELLE.

Les phénomènes de la nature sont le plus souvent enveloppés de tant de circonstances étrangères, un si grand nombre de causes perturbatrices y mêlent leur influence, qu'il est très difficile de les reconnaître. On ne peut y parvenir qu'en multipliant les observations ou les expériences, afin que les effets étrangers venant à se détruire réciproquement, les résultats moyens mettent en évidence ces phénomènes et leurs éléments divers. Plus les observations sont nombreuses et moins elles s'écartent entre elles, plus leurs résultats approchent de la vérité. On remplit cette dernière condition par le choix des méthodes, par la précision des instruments et par le soin que l'on met à bien observer. Ensuite on détermine par la théorie des probabilités les résultats moyens les plus avantageux ou ceux qui donnent le moiris de prise à l'erreur. Mais cela ne suffit pas; il est de plus nécessaire d'apprécier la probabilité que les erreurs de ces résultats sont comprises dans des limites données. Sans cela, on n'a qu'une connaissance imparfaite du degré d'exactitude obtenu. Des formules propres à cet objet sont donc un vrai perfectionnement de la méthode des sciences, et qu'il est bien important d'ajouter à cette méthode. L'analyse qu'elles exigent est la plus délicate et la plus difficile de la théorie des probabilités. C'est une des choses que j'ai eue principalement en vue dans mon Ouvrage, dans lequel je suis parvenu à des formules de ce genre, qui ont l'avantage remarquable d'être indépendantes de la loi de probabilités des erreurs et de ne renfermer que des quantités données par les obser-

OEuvrei de L. — VH. 63

valions mêmes et par leurs expressions. Je vais en rappeler ici les principes.

Chaque observation a pour expression analytique une fonction des éléments que l'on veut déterminer; et, si ces éléments sont à peu près connus, cette fonction devient une fonction linéaire de leurs corrections. En l'égalant à l'observation même, on forme ce que l'on nomme équation de condition. Si l'on a un grand nombre d'équations semblables, on les combine, de manière à obtenir autant d'équations finales qu'il y a d'éléments dont on détermine ensuite les corrections, en résolvant ces équations. Mais quelle est la manière la plus avantageuse de combiner les équations de condition pour obtenir les équations finales? Quelle est la loi des erreurs dont les éléments que l'on en tire sont encore susceptibles? C'est ce que la théorie des probabilités fait connaître. La formation d'une équation finale, au moyen des équations de condition, revient à multiplier chacune de celles-ci par un facteur indéterminé et à réunir ces produits; mais il faut choisir le système de facteurs qui donne la plus petite erreur à craindre. Or il est visible que, si l'on multiplie les erreurs possibles d'un élément par leurs probabilités respectives, le système le plus avantageux sera celui dans lequel la somme de ces produits, tous pris positivement, est un minimum ; car une erreur positive ou négative doit être considérée comme une perte. En formant donc cette somme de produits, la condition du minimum déterminera le système de facteurs qu'il faut choisir. On trouve ainsi que ce système est celui des coefficients des éléments dans chaque équation de condition, en sorte que l'on forme une première équation finale en multipliant respectivement chaque équation de condition par son coefficient du premier élément et en réunissant toutes ces équations ainsi multipliées. On forme une seconde équation finale en employant de même les coefficients du second élément, et ainsi de suite. De cette manière, les éléments et les lois des phénomènes, renfermés dans le recueil d'un grand nomjjre d'observations, se développent avec le plus d'évidence. J'ai donné, dans le n° 21 du Livre II de ma Théorie analytique des Probabilités, l'expression de l'erreur moyenne à

craindre sur chaque élément. Cette expression donne la probabilité des erreurs dont l'élément esl encore susceptible, et qui est proportionnelle au nombre dont le logarithme hyperbolique est l'unité, élevé à une puissance égale au carré de l'erreur pris en moins et divisé par le carré du double de cette expression et par le rapport de la circonférence au diamètre. Le coefficient du carré négatif de l'erreur dans cet exposant peut donc être considéré comme le module de la probabilité des erreurs, puisque l'erreur restant la même, la probabilité décroît avec rapidité quand il augmente, en sorte que le résultat obtenu pèse, si je puis ainsi dire, vers la vérité, d'autant plus que ce module est plus grand. Je nommerai, par cette raison, ce module poids du résultat. Par une analogie remarquable de ces poids avec ceux des corps comparés à leur centre commun de gravité, il arrive que, si un même élément est donné par divers systèmes, composés chacun d'un grand nombre d'observations, le résultat moyen le plus avantageux de leur ensemble est la somme des produits de chaque résultat partiel par son poids, cette somme étant divisée par la somme de tous les poids. De plus le poids total des divers systèmes est la somme de leurs poids partiels, en sorte que la probabilité du résultat moyen de leur ensemble est proportionnelle au nombre qui a l'unité pour logarithme hyperbolique, élevé à une puissance égale au carré de l'erreur, pris en moins et multiplié par la somme de tous les poids. Chaque poids dépend, à la vérité, de la loi de probabilité des erreurs dans chaque système, et presque toujours cette loi est inconnue; mais je suis heureusement parvenu à éliminer le facteur qui la renferme, au moyen de la somme des carrés des écarts des observations du système, de leur résultat moyen. 11 serait donc à désirer, pour compléter nos connaissances sur les résultats obtenus par l'ensemble d'un grand nombre d'observations, qu'on écrivît à côté de chaque résultat le poids qui lui correspond. Pour faciliter le calcul de ce poids, je développe son expression analytique, lorsque l'on n'a pas plus de trois éléments à déterminer. Mais, cette expression devenant de plus en plus compliquée à mesure que le nombre des éléments augmente, je donne un moyen fort simple pour

déterminer le poids d'un résultat, quel que soit le nombre des éléments. Quand on a ainsi obtenu l'exponentielle qui représente la loi de probabilité des erreurs, on aura la probabilité que l'erreur du résultat est comprise dans des limites données, en prenant, dans ces limites, l'intégrale du produit de cette exponentielle par la différentielle de l'erreur et en la multipliant par la racine carrée du poids du résultat divisé par la circonférence dont le diamètre est l'unité. De là il suit que, pour une même probabilité, les erreurs des résultats sont réciproques aux racines carrées de leurs poids, ce qui peut servir à comparer leur précision respective.

Pour appliquer cette méthode avec succès, il faut varier les circonstances des observations ou des expériences, de manière à éviter les causes constantes d'erreur. Il faut que les observations soient nombreuses et qu'elles le soient d'autant plus qu'il y a plus d'éléments à déterminer; car le poids du résultat moyen croît comme le nombre des observations divisé par le nombre des éléments. Il est encore nécessaire que les éléments suivent, dans ces observations, une marche différente; car, si la marche de deux éléments était rigoureusement la même, ce qui rendrait leurs coefficients proportionnels dans les équations de condition, ces éléments ne formeraient qu'une seule inconnue, et il serait impossible de les distinguer par ces observations. Enfin il faut que les observations soient précises. Cette condition, la première de toutes, augmente beaucoup le poids du résultat, dont l'expression a pour diviseur la somme des carrés de leurs écarts de ce résultat. Avec ces précautions, on pourra faire usage de la méthode précédente et mesurer le degré de confiance que méritent les résultats déduits d'un grand nombre d'observations.

I. Un grand avantage de cette méthode, qui permet d'en évaluer numériquement les expressions, est, comme nous l'avons dit, d'être indépendante de la loi de probabilité des erreurs des observations. Le

facteur j—a^s, qui dépend de cette loi, a été éliminé des formules des

n°* 19 et 21 du Livre II, en observant que ce facteur qui est la somme des

SUPPLEMENTS 501

carrés de toutes les erreurs possibles des observations, multipliées par leurs probabilités respectives, et qui exprime ainsi la vraie moyenne de ces carrés, est très probablement égal à la somme des carrés des restes des équations de condition, lorsqu'on y a substitué les éléments déterminés par la méthode la plus avantageuse. L'importance de cette méthode dans la philosophie naturelle exige que l'incertitude qu'elle peut laisser soit dissipée, et la seule qui reste encore est relative à l'égalité dont je viens de parler. Je vais d'abord éclaircir ce point délicat de la théorie des probabilités et faire voir que l'égalité précédente peut être employée sans erreur sensible.

La somme des carrés des erreurs des observations, dont le nombre

est s, étant supposée égale à -^ a-s + a^r\js, la probabilité que la valeur de r est comprise dans des limites données est, par le n** 19 cité,

' J^'drc * ,

2 y/vr'

l'intégrale étant prise dans ces limites. Représentons l'équation générale de condition des éléments s, z', .. . par celle-ci

s^'^ étant l'erreur de l'observation. Les éléments z, z' , ... étant déterminés par la méthode la plus avantageuse, désignons par u, u', . . . leurs erreurs; nous aurons, en nommant e'^'^ le reste de la fonction

lorsqu'on y a substitué pour s, z', ... leurs valeurs ainsi déterminées,

£(/) __ £'(,) j pii) u^ga)u' -h. . ., ce qui donne

le signe intégral S s'étendant à toutes les valeurs de î, depuis i = o jusqu'à i= s -— î. Mais, par les conditions de la méthode la plus avan-

tageuse, on a

on a donc

Se('')2=Se'(')2+S(/>(')w + 9('")M' + ...)=';

en comparant cette valeur de Se^'^^ à sa valeur précédente -j—a^s-i- a^rsjs, on aura

Faisons

Se'(02 ^ a^s=ts/s,

Il =z —-, II' = —r ) U= —zii

nous aurons

«2 r = ; H yl- J— '- .

g'' /■' L'exponentielle c * devient ainsi

,-wh 7fi J.

ainsi la probabilité de t est proportionnelle à cette exponentielle.

L'analyse du n° 21 du Livre II conduit à ce théorème général, savoir que la probabilité de l'existence simultanée des quantités u, u', u", ... est proportionnelle à l'exponentielle

la probabilité de l'existence simultanée de t, v, v' , v", ... est donc proportionnelle à

- r-ï '+ -^ - TTT-^ S(p(Op+ortt''+...)>

ç.*«*L Sy/S J *^"«'* ^ *'

En substituant pour -—. — sa valeur 2S£'^'^ — 2t\ls, cette exponentielle

SUPPLEMENTS. 503

se réduit, en négligeant les termes de l'ordre -> à la fonction suivante :

6'» r S(p(')tM-qrt'V+ ..)«-!» s(;>Wc-H7(<V-t-...)«

Maintenant, pour avoir la probabilité que la valeur de v est comprise dans des limites données, il faut : i° multiplier cette fonction par dtdvdv'...', 2° prendre l'intégrale du produit pour toutes les valeurs possibles de /, v\ v", ...; et, par rapport à v, intégrer seulement dans les limites données; S*' diviser le tout par cette même intégrale prise

par rapport à toutes les valeurs possibles de t, v^v', En regardant

Se'f'^^ comme une donnée de l'observation, t ne varie qu'à raison de la

valeur inconnue — j — » et cette valeur peut varier depuis zéro jusqu'à

l'infini; t peut donc varier depuis — p- jusqu'à l'infini négatif; et,

comme Se'^'^'est de l'ordre^, ^ peut varier depuis l'infini négatif jusqu'à une valeur positive de l'ordre \Js. L'exponentielle précédente devient, à cette limite de l'intégrale prise par rapport à t, de la forme c~^^' et pourra être supposée nulle, à cause de la grandeur de s. Ainsi l'on peut prendre l'intégrale relative à t, depuis t = — ce jusqu'à t= <x> . Pareillement les intégrales relatives à v', v", . . . peuvent être prises dans les mêmes limites. Si l'on fait

Syfs

l'intégrale relative à ?' pourra être prise par rapport à ^' depuis t'= —oc jusqu'à t'= ao .

De là il est facile de conclure que la probabilité que (^ est compris dans des limites données est proportionnelle à l'intégrale

les intégrales étant prises depuis /, v", . . . égaux à —00 jusqu'à leurs

valeurs infinies positives et par rapport à v dans les limites données, et étant divisée par la même intégrale étendue aux valeurs infinies positives et négatives de ç», /, /',

La considération de la différence qui peut exister entre -tr^^^ et

Ss'''^'' n'introduit donc dans l'expression de la probabilité dont il s'agit

qu'un terme de l'ordre -» ordre que je me suis permis de négliger dans

mon Ouvrage. Par là, l'intégrale précédente devient

Si l'on fait

Jdvdv'...c ^sew

D^i^ = pii)

Sg

fil) — t(i) 't 1 .

^q(iy2

l'exponentielle

s ( pvO c H- (/(O i"+ ri') f "4-. . .)'

pourra être mise sous cette forme

En multipliant cette quantité par dç', et en l'intégrant depuis p'= — ao jusqu'à (^'= co , on aura une quantité proportionnelle à

et dans laquelle la variable v' a disparu. En suivant le même procédé, on fera disparaître les variables v", v'\ On arrivera ainsi à une

^re— 1

exponentielle de la forme c aseo^ ji étant le nombre des éléments. Si

l'on restitue, au lieu de f^, sa valeur u\fs, cette exponentielle devient

en faisant

aSe'C'^a

u étant l'erreur de la valeur de z, P est ce que je nomme poids de cette valeur. La probabilité que cette erreur est comprise dans des limites données est donc

V'tt

l'intégrale étant prise dans ces limites, et r: étant la circonférence dont le diamètre est l'unité. Mais il est plus simple d'appliquer le procédé dont nous venons de' faire usage aux équations finales qui déterminent les éléments, pour les réduire à une seule, ce qui donne une méthode facile de résoudre ces équations.

2. Reprenons l'équation générale de condition, et, pour plus de simplicité, bornons-la aux six éléments 5, z', z'\ s'", z'\ z'; elle devient alors

En la multipliant par 1^'^ et réunissant tous les produits semblables,

SX(') e(') = z SX('>(') + z' S>(')^(') + . . . — SX('■)a('■^

le signe intégral S s'étendant à toutes les valeurs de i, depuis i=o jusqu'à i = s — I, s étant le nombre des observations employées. Par les conditions de la méthode la plus avantageuse, on a SV'h^^^^o; l'équation précédente donnera donc

SXO/') ,„SX(^)/(') ^SX(')H') SX("=^ SX(')2 " SX(''2

~^ ~~^W^ ~^ sx('>2 "^ sx(''=«

CEwres de L. — VU. 64

Si l'on substitue cette valeur dans l'équation (i) et si l'on fait

yU) yii) lH) "^ y

SX<'')<i')

SXf'V^') r'/' = r(') — X"') • ,

SXC'o^') S >(' )»('■)

pU) — pU)l{i)^^ P ,

on aura

par ce moyen, l'élément z" a disparu des équations de condition que représente l'équation (2). En multipliant cette équation par y'/' ^t réunissant tous les produits semblables, en observant ensuite que l'on a

en vertu ides équations

que donnent les conditions de la méthode la plus avantageuse, on aura

0 = 2 Sy'/V/' + z' ^yfqf + z" ^yfr^i^ + z'" ^yft^}^ + z-' Sy</'^ - Sy'/'a'/'; d'où l'on tire

Sv"'^"' Sv"''r'^' Sv(')n""' «^v(')n('' <sv<')/v(«'

8//'=* 8//'=* Sy'/'" S//'" Sy'/'^ '

Si l'on substitue cette valeur dans l'équation (2) et si l'on fait

. Sv"'/"' ,(i) — /(*) „(j) f/i lL.

f(i) — /(*) v('>-Li__L.

. Sv'"r'" ui) — ut) v'" jLL i.

^2 -?i y. gyu,2 »

'2 -/>< 7* gyU-,2

c(''>=aV''-//'

Sy'/^g'/' Sy'/'=' =

on aura

( 3 ) £('■)= /î'a'' 2 + 9'/' z' + r^j'' z" + fit'' 2'" - aij'\

En continuant ainsi, on parviendra à une équation de la forme

(4) e(^^ = pfz-4\

11 résulte du n° 20 du Livre II que, si la valeur de s est déterminée par cette équation et que u soit l'erreur de cette valeur, la probabilité de cette erreur est

2Se'(0»

2Se'(02;r

Se'^'^^ étant la somme des carrés des restes des équations de condition, lorsqu'on y a substitué les éléments déterminés par la méthode la plus

avantageuse. Le poids P de cette erreur est donc égal à a '{i)2'

Il s'agit maintenant de déterminer S/?'."^. Pour cela, on multipliera respectivement chacune des équations de condition représentées par l'équation (i), d'abord par le coefficient du premier élément, et l'on prendra la somme de ces produits; ensuite par le coefficient du second élément, et l'on prendra la somme de ces produits, et ainsi du reste. On aura, en observant que par les conditions de la méthode la plus

avantageuse Sp^'h^'^ = o, S^^^'^e^'^ == o, . . ., les six équations suivantes :

px = p(^lz+pq z'-\~pr z"+~pi 2'"+^ z'^ + ^ 2% qtx = pq z -h q^^^ z' -h qr z"-hqt z"'-\-'qy z'^-hqî z", ra = rp z -\- iq z' + r<^H"-\- rt z*^ +'ry z" -+- rX z', T^—Jp z -\- tq z'-hTr z"+tWz"'-^'ty z"+fX z",

yixz=zyp z-\-yq z' -hyr z" +yt z" -y- y'^'^H^" -Y y\ z*, îx =:Tp z-hïq z' -hVr z"+X7 z"'+Xy z'^'-hl^z'',

OÙ l'on doit observer que nous supposons

;?i2) = S/>(')2, pq = Sp^^^q(^U g(2> = S</('")S g7-=Sçf('V('),

Si l'on multiplie pareillement les équations de condition représentées par l'équation (2) respectivement par les coefficients de z et que l'on ajoute ces produits, ensuite par les coefficients de z' en ajoutant encore ces produits, et ainsi de suite, on aura le système suivant d'équations, en observant que S/>,"e<'^ = o, Sy',"£('^ = o, ..., par les conditions de la méthode la plus avantageuse,

y^7â7 = /?V'' z-i-piqiz'-tpir,z"-hpiti z'" + /?, y, 2'^, q'i^ = p,q,z 4- (/',2' z'-hqt /'i z"-{-q, /, z"'-h gt y» z'', 7707 = pTrt z H- ^4 z' -+- r',^' z" + nTi z'" -h ny\ z'% tTôT, = pTTt z + qVfi z' H- rTT^ z" H- «',2) a'" + rTyi z'%

y«ai =/?i7i 2 +?i7« 2'+^iyi2"-H ^lyi -z"'-+-y<<*' z", où l'on doit observer que

j;^^=%pfq\\ pT^'^fl'\ .••.

En substituant, au lieu de/?',", 9',", .. ., leurs valeurs précédentes, on a

piq\ —op q Sl^i)2

ou

— — — Iplq

on a pareillement

SUPPLEMENTS.

Ainsi les coefficients du système des équations (B) se déduisent facilement des coefficients du système des équations (A).

Les équations de condition représentées par l'équation (3) donneront semblablement le système suivant d'équations

et l'on a

poaC2 =^ P^i^ Z + p^qiZ' -h PiTiZ" -h p2t2Z"',

q.2 tX2=P'ig2Z-\- q[^\ z' -h q2 r2 z" H- ^2 ^2 2'",

Ta X2 = />2 /*2 2 -f- q2 r2 2' + rlj^' z" + r2 to z'",

P2q2=piq\

yiPiq^yi

/>2a2 =/?< ai —

yi/>t yiai

On aura pareillement le système d'équations

Fi

— Fs

pzqi

/^sTsZ

= pzqi

en faisant

on aura encore

en faisant

Enfin on aura

en faisant

pr

Plt2

psqz

= Piqi —

^2^2 ^2 ÛC2

P3CX3 =piaci — (a) »

Piocu =p!,^' z -h p^q^z',

qiOCi =pjtq^z + q[^^z',

=pr -

Pars

Pzr^qsra Oo ro «o r-.

,(2) ri(2)

/?4Çf4 pitqnqiXt

A's ' = Pa' - ^TTïT » /'s «5 = p* oc,

jP'/' est la valeur de S/)'g'% et le poids P sera

2Se'(')2

On voit par la suite des valeurs de />^'*^ />'<*'» Pa*» ••• qu'elles vont en diminuant sans cesse, et qu'ainsi, pour le même nombre d'observations, le poids P diminue quand le nombre des éléments augmente. Si l'on considère la suite des équations qui déterminent ^Ogag, on

voit que cette fonction, développée suivant les coefficients du système des équations (A), est de la forme

;?a + M 7 a 4- N ra + . . . ,

le coefficient de px étant l'unité. Il suit de là que si l'on résout les équations (A), en y laissant />a, ^a, ra, ... comme indéterminées,

-727 sera, en vertu de l'équation (F), le coefficient de /?a dans l'expres- P^

sion de z. Pareillement, -^^ sera le coefficient de qct dans l'expression

de z'; -^ sera le coefficient de ra dans l'expression de z"\ et ainsi du

reste; ce qui donne un moyen simple d'obtenir/?'.^', q''^\ ...; mais il est plus simple encore de les déterminer ainsi.

D'abord l'équation (F) donne la valeur de /?'/' et de z. Si dans le système des équations (E) on élimine z au lieu de z', on aura une seule équation en z' , de la forme

en faisant

qT-

Pu q% Pu a,

pT

„(2) » q^.ccs = qicc,

Si dans le système des équations (D) on élimine z au lieu de z" , pour ne conserver à la fin du calcul que z", on aura a^/' en changeant dans la suite des équations qui, à partir de ce système, déterminent p^l\ la lettre p dans la lettre r, et réciproquement. On aura ainsi

r.',qi = r3q3

PaÇs Para

Pa

PaÇa

Pa

Pour avoir /'/', on partira du système des équations (C), en changeant, dans la suite des valeurs de jOg^', p^q^, .. ., ^3^', qzr^j . .., la lettre/? dans la lettre t^ et réciproquement.

On aura pareillement la valeur de y'/', en partant du système des équations (B) et changeant dans la suite des valeurs àe p^^\p[^\ ..., la lettre p dans la lettre y, et réciproquement.

Enfin, on aura la valeur de X^j^' en changeant, dans la suite des valeurs de /?',^',/?2^', . .., la lettre p dans la lettre 1, et réciproquement.

3. L'erreur dont la valeur de z est susceptible étant w, sa probabilité

est, comme on l'a vu,

En la multipliant par 11 du et prenant l'intégrale depuis u nul jusqu' u infini, on aura

2V^7rv/P

pour l'erreur moyenne à craindre en plus dans la valeur de z. Cette expression affectée du signe — sera l'erreur moyenne à craindre en moins sur cette valeur. J'ai donné dans le n^ 21 du Livre II l'expression analytique de ces erreurs moyennes, quel que soit le nombre des éléments. On aura donc, en la comparant à la précédente, la valeur de P, et il est facile de reconnaître l'identité de ces expressions. On trouve ainsi, dans le cas d'un seul élément,

2Se'('>2 Si l'on fait généralement, pour un nombre quelconque d'éléments,

P=-^-^, on trouve, pour deux éléments,

SUPPLEMENTS. 513

En appliquant ces résultats aux équations (E), on aura la valeur de P relative à l'élément z.

On trouve, pour trois éléments,

k = pWqWt<^) —pi^^qr' —qWpr — rC^^pq' -i- zpq'prqr,

Ces résultats appliqués aux équations (D) donneront la valeur de P relative à l'élément z.

En continuant ainsi, on aura, quel que soit le nombre des éléments, le poids relatif au premier élément :?. En changeant dans son expression p en q et q en p, on aura le poids relatif au deuxième élément z'. En changeant, dans l'expression du poids du premier élément, p en r et r en p, on aura le poids relatif au troisième élément z'\ et ainsi de suite. Mais, lorsque le nombre des éléments surpasse trois, il est beaucoup plus simple de faire usage de la méthode du numéro précédent.

Nous observerons ici que l'erreur moyenne à craindre sur chaque élément étant, par les n°^20 et 21 du Livre II, plus petite dans le système de facteurs qui constitue la méthode la plus avantageuse que dans tout autre système, la valeur de P y est la plus grande possible. Ainsi, pour une même erreur d'un élément dans cette méthode, la probabilité est plus petite que dans toute autre méthode, ce qui assure sa supériorité.

4. Toute mon analyse repose sur l'hypothèse que la facilité des erreurs est la même pour les erreurs positives et pour les erreurs négatives; ce qui rend nulle l'intégrale du produit de l'erreur par sa probabilité et par sa différentielle, l'intégrale étant prise dans toute l'étendue des limites des erreurs, et l'origine des erreurs étant au milieu de l'intervalle qui sépare ces limites. Mais, si la loi de facilité est différente pour les erreurs positives et pour les erreurs négatives,

ORuvres de L. — VU. 65

alors l'intégrale précédente ne devient nulle que dans le cas où cette origine est au point de l'abscisse par où passe l'ordonnée du centre de gravité de la courbe, dont les ordonnées représentent la loi de facilité des erreurs représentées elles-mêmes par les abscisses. Pour tout autre point, l'erreur moyenne de l'observation est cette intégrale divisée par l'intervalle des limites; et, si l'on a un grand nombre d'observations, la moyenne des erreurs de ces observations sera, par ce que l'on a vu dans le Livre II, égale à très peu près à ce quotient. En faisant donc en sorte que la somme des erreurs soit nulle, on pourra supposer nulle l'intégrale dont nous venons de parler, et alors toute mon analyse subsiste et devient indépendante de l'hypotbèse d'une égale facilité des erreurs positives et des erreurs négatives. On peut toujours obtenir cet avantage en ajoutant aux équations de condition un élément indéterminé dont le coefficient soit l'unité. C'est ce qui a lieu de soi-même dans les équations de condition relatives au mouvement des planètes en longitude ; car la correction de l'époque y a pour coefficient l'unité. Mais, l'addition d'un élément affaiblissant, comme nous l'avons dit, la probabilité des erreurs des autres éléments, probabilité qui, pour le même nombre d'observations, diminue quand le nombre des éléments qui s'appuient sur elles est plus grand, il ne faut recourir à cette addition que lorsque l'on peut craindre qu'une cause constante favorise plutôt les erreurs d'un signe que celles du signe contraire. Au reste, on s'en assurera facilement, en faisant la somme des restes positifs et celle des restes négatifs des équations de condition, lorsqu'on y aura substitué les valeurs des éléments déterminés par la méthode la plus avantageuse, sans l'addition dont on vient de parler et en voyant si l'excès de l'une de ces sommes sur l'autre indique une cause constante.

Pour ne laisser aucun doute sur cet objet, je vais y appliquer le calcul. Il résulte du n°22 du Livre 11 que la probabilité que la somme des erreurs des observations égale

ak' r

-j-s-i-ars/s

Sl>PPLÉMENTS. 515

est proportionnelle à l'exponentielle

Cette somme est Se^'\ et, par le n° 1, on a

Par la nature des équations finales, on a Se'''^ = o; on a donc

ak'

-r-s H- ar\/s = Slp'-^^u 4- q^'hi' +...).

Si l'on fait, comme dans ce numéro, u = ^r? m'=-=î •••> on aura ainsi

as

Ainsi j est de l'ordre — > et son carré est de l'ordre -; on peut donc

k" le négliger, eu égard à -r-- La probabilité de l'existence simultanée de

r, V, /, ... est ainsi proportionnelle à l'exponentielle

En la multipliant par o^r, d{^', ..., en l'intégrant par rapport à r, v', v", . . ., depuis l'infini négatif jusqu'à l'infini positif, on aura une quantité proportionnelle à la probabilité de v. En multipliant donc cette quantité par c?^ et en prenant l'intégrale dans des limites données, en la divisant ensuite par cette même intégrale prise depuis (^ = — oc jusqu'à ç^ 1= -h co , on aura la probabilité que la valeur de ^ est contenue dans ces limites. On voit ainsi que la considération des valeurs que k' peut avoir et dont dépend la différence de probabilité des erreurs positives et négatives n'a aucune influence sensible sur les résultats de la méthode générale exposée ci-dessus.

5. Appliquons maintenant cette méthode à un exemple. Pour cela, j'ai profité de l'immense travail que Bouvard vient de terminer sur les mouvements de Jupiter et de Saturne, dont il a construit des Tables très précises. Il a fait usage de toutes les oppositions observées par Bradley et par les astronomes qui l'ont suivi : il les a discutées de nouveau et avec le plus grand soin, ce qui lui a donné 126 équations de condition pour le mouvement de Jupiter en longitude et 129 équations pour le mouvement de Saturne. Dans ces dernières équations, Bouvard a fait entrer la masse d'Uranus comme indéterminée. Voici les équations finales qu'il a conclues par la méthode la plus avantageuse ;

— i53io6,Ô2"— 39749,1 2^— 54592''+ 57222% 237^,782 = 6788,22 — 1 53 106,5 2'

— 3,22622" + 57, Î91 IZ'" + 3,62 I 3 2'v + I , I I 28 2%

+ 1,33712"+ i,ii282'" + 46,3io2'*+ 1292».

Dans ces équations, la masse d'Uranus est supposée — ^-7-, la masse

de Jupiter est supposée ^ " \ z" est le produit de l'équation du centre

parla correction du périhélie employé d'abord par Bouvard; z'" est la correction de l'équation du centre; z^"' est la correction séculaire du moyen mouvement; z" est la correction de l'époque de la longitude au commencement de lySo. La seconde du degré décimal est prise pour unité.

Au moyen des équations précédentes renfermées dans le système (A), j'ai conclu les suivantes, renfermées dans le système (B) :

248", 1772 = 6761,232 — ]53r65,8iz'

De ces équations, j'ai tiré les quatre suivantes, renfermées dans le système (C),

ces dernières équations donnent les suivantes, renfermées dans le système (D),

Enfin j'ai conclu de là les deux équations suivantes, renfermées dans le système (E) :

Je m'arrête à ce système, parce qu'il est facile d'en conclure les valeurs du poids P relatives aux deux éléments z et 5' que je désirais par-

ticulièrement de connaître. Les formules du n*^ 3 donnent, pour s,

-iSe'(02 L'* -^^ 57725227 J et, pour s',

*^-2Se'('>='L " ^ ^ 48442 J Le nombre s des observations est ici 129 et Bouvard a trouvé

on a donc, pour z,

logP = 2,0013595

et, pour z\

logP = 5, 0778624-

Les équations précédentes donnent

z' = — o,oo3o5, z = 0,08916.

La masse de Jupiter est — -^ (i-f-s'). En substituant pour s' sa

valeur précédente, cette masse devient ^j^- La masse du Soleil est

prise pour unité. La probabilité que l'erreur de z' est comprise dans

les limites ± U est, par le n** 1,

l'intégrale étant prise depuis u = — \] jusqu'à m = U. On trouve ainsi la probabilité que la masse de Jupiter est comprise dans les limites

, , lOOOOOO , ,., .,,. , ^ , , ,

égale a ; en sorte qu u y a un million a très peu près a parier

contre un que la valeur ^ n'est pas en erreur d'un centième de sa

valeur; ou, ce qui revient à fort peu près au même, qu'après un siècle

SUPPLEMENTS. 519

de nouvelles observations, ajoutées aux précédentes et discutées de la même manière, le nouveau résultat ne différera pas du précédent d'un centième de sa valeur.

Newton avait trouvé, par les observations de Pound, sur les élongations des satellites de Jupiter, la masse de cette planète égale à la 1067^ partie de celle du Soleil, ce qui diffère très peu du résultat de Bouvard.

La masse d'Uranus est — p-^- En substituant pour :; sa valeur précédente, cette masse devient La probabilité que cette valeur est

comprise dans des limites

est égale à -^ — , et la probabilité que cette masse est comprise dans les limites

17907 5 19504 , , , , 2i5,6 est égale a — ^-7-. •