on a donc

Ainsi la formule (ja') peut être employée, tant que i+ i surpasse n, ce qui est conforme à ce que l'on a dit dans le n° 41 du Livre P% d'après

la considération des passages du réel à l'imaginaire, passages que l'analyse précédente confirme.

IIÏ.

La formule (/?) du n** 42 du Livre I" est fort remarquable : elle peut se démontrer de la manière suivante, qui montre distinctement la raison pour laquelle la série des différences doit être arrêtée, lorsque la quantité sous l'exposant de la puissance devient négative.

Considérons l'intégrale

Jx dx CCS ( zx I ( J j

et donnons-lui cette forme

m-K ^ -^ 1 /sm^\« . mv: r "H j • /sin.r\«

ces — fx dxcoszxl H- sm — Ix "axsmzxl ,

2/1 "^ \ X j in"^ \ X )

les intégrales étant prises depuis x nul jusqu'à x infini. Supposons d'abord n pair et égal à ni; on aura, par les formules connues,

,. l cos«.r — ncos w — 'i.]x-\ ^cosfn — i]x—...

sinx\2t (— i]' 1 ^ ' 1.2 \ ^1

, I nin — i)(/i — 2)...(n — / + i]

le signe h- ayant lieu, si i est pair, et le signe —, si i est impair. En multipliant cette équation par coszx, on aura

^ . / --. cos[n±z]x — nco'S,[n — i± z]x±:.

sin^\ 2« ( — I

. ces z^ = -rj--. ^ i ri[n—i][n — i]. . An — i-\-\) ,, , u X j -x^^x'-i] ± ^ ^-^ ^ \ -'ces i^^ l

où l'on doit observer que, par cos(/i — 2r± s)^, je comprends la somme des cosinus cos(/i — ir -\- z)x et cos(w — 2r— z)x, ir étant ici au plus égal à « ou 2ï. Multiplions le second membre de cette

équation par a; "<^; on a généralement

fx " dx cos[n — '2.r±z)x cosfn — -xrzh z]x

n — 2 r ± z ) 2 CCS [n — ir±z]x

n -\ 2|(/îH 3)^ "

'—\V[n—ir:^z\

J dx X " cos(n — 2rd= z)^.

On a donc

J x " dx coszx

sit\x\'^

cos [n ± z)x — n ces [n — 2±: z)x

n[n — i) , , . ^ ces [n — ^±z)x

ces ± zx\

{n± z)sin{n± z)x - n { n ~ 2 ± z) sin( n — 'i ± z] X

ri± z}-' ces n zt z]x

fdxx " { 1.2

{n ± z]" cos{n ± z)x

)i[n — 2 ±z]" cos {n — 2 zh z)x

nin — r

n~ ^ ±z)" cos(n — ^±z)x

l ^ 1.--.-^ , 1. z" cos ± zx)

H- const.

Cette constante doit être déterminée de manière que le second membre de cette équation soit nul lorsque x est nul : or on a, par ce qui précède,

cos(n ±z z)x — /icos(n — i±z z)x -\- . . .=.[— iYi^^[smx)" coszx. En différentiant cette équation par rapport à ^, on a

— {[n± z)?,\n[n± z)x — n[n — "xà:: z) ^\\\[n — i± z)x ->r . . .\

dlisïnxYcoszx-]^

-^ '^^ di '

différentiant encore, on a

— [(«±2)2 cos(n ± z)x — n[n — 1 ± z)^ cos(n — ■i±z)x -\- . . .^

dx'^

et ainsi de suite : or on a, aux deux limites ^r = o et .r infini.

X " [smxY co'&zx = o,

-n-^ + i d\{smxY cos2;r I

"^ , dx ~ '

On a donc, en intégrant depuis x nul jusqu'à x infini,

Jx " dx coszx

sin.r\«

2^Mn H 1

{n± z)" cos(«±: z)x

n{n — 2 ± z]" cosin ~ 2 ± z]x

y<.fx " dx l -h,

;« cosf±:z^'

i88 THÉORIE ANALYTIQUE DES PROBABILITÉS.

Maintenant on a, en faisant {/i ~ 2r± z)x = x',

fx " dx[n~ ir±zY cos[n — o.r±z)x

=^ [n — ■2r± z) "Jdx'x' " cos.r'.

On a de plus, comme nous le démontrerons ci-après,

fx' " dx' cos x' =^ k' ^\n >

fx' " dx' ^\nx' =^h' co?, •>

k' étant égal 'A ft " dtc~^, l'intégrale étant prise depuis t nul jusqu'à / infini. Cela posé, on aura

fx " dx C0S2.r

sin.r \"

k'sin

mn

nin — i] .

-\ ' in

I nin — i).../i — i -h i

-h(n — z) " — nin — z — 2] "

Il est facile de voir, par l'analyse précédente, que, si n — z~2rest né-

gatif, il faut changer la puissance (« — s — 2r) " dans {2 r-hz — n) ",

parce que l'on a

ces (n — z — 2r]x = ces (ir -h z — n)x.

On trouvera, par la même analyse,

j X " dx sm zx I ■ I

[n-h zY s\ti[n-{- z)x \

-n(/n-2 — 2)«sin(n-f-z — 2)j: j

fx " dx

m \ m" \ — [n — z]"sm{n — z]x

-h nln — z — 2]" sinin — z — 'î]x

Or on a

fx '^ {n±: z — '2r)"dx sin{n± z — 'îr)x = [n±z z — -ir) " k' cos

Si {n — z — 2r) est négatif, on a

fx " [n — z — 2r]'^dx sin[n — z — 2r)x

=z—Jx '^dx[ir-{-z — r)"sin(2 -\- z ~ n)x

r=z— ['î.r -\- Z — n] A' cos

De là on tire

cos — fx "dxcoszxl H- sin Ix "dxsmzxl )

{n-hz) " —n{n-hz — i) " + -^ '-[n-hz — ^)

2«(nH 1) [n -\ 2'.- —

la série étant continuée jusqu'à ce que, dans la puissance

(/i + s — 2r') ", la quantité n -^~ z — ir' devienne négative, 2r'

pouvant ici s'étendre jusqu'à in. En effet, il est visible que dans les

expressions des deux termes du premier membre de l'équation (z), les

- — termes relatifs à la puissance [n-{-z — 2r) " sont les mêmes et

s'ajoutent. Les termes relatifs à la puissance (n — s — 2r) " sont

les mêmes et de signes contraires, tant que /i — s — 2r est positif;

OEuvres de L. — y\\. 62

mais ils ont le même signe lorsque n — z — ir est négatif; et la puissance précédente doit, par ce qui précède, être changée dans

tn

(2r4-s — n) ". La somme des termes relatifs à cette puissance est

[—xY-^ ^ — ;^ ^-[z-\-ir—n\

k sin ;

or ce terme se rencontre dans la série du second membre de l'équation [i). Cette série contient le terme

^ ' 1 . 2 . 3 . . . r' ^ ' , , . mi:

k' sin >

n + z — ir' étant supposé positif. Si l'on fait n — ir' =^ ir ~ n, ce qui donne r' =^ n— r, ce terme devient égal au précédent; car alors on a (-!)'•'=( i)^et

n n — II... w — r 4- 1 n[n — \]...[n — r-\-\

La formule (T) du n** 24 du Livre P"" donne

-^- /r-' dt c-tft^-rdt c-t =

TT

sm r— I TT

les intégrales étant prises depuis t nul jusqu'à / infini. Si l'on suppose

r— I = — » on aura n

ffdtc-'ft " dtc-t —

— fr n

. rni:

sm — n

Ce que nous avons nommé k dans la formule (/)) du n° 42 du Livre I" est égal à ft"'^"^*dtc~^'\ et il est facile de voir que, les intégrales étant

prises depuis t nul jusqu'à t infini, on a

on a donc

. mi:

sm

nh 2^* En multipliant les deux membres de l'équation [i) par et substituant dans le second membre ainsi multiplié, au lieu de nkk' , sa valeur

, on aura la formule (p) citée.

sin — n

La même analyse s'applique au cas où n est un nombre impair. Elle montre distinctement la raison pour laquelle la série des différences

doit s'arrêter, lorsque la quantité élevée à la puissance w — i H

devient négative.

Il nous reste maintenant à démontrer les formules

X " ajc' cosx^= k sm - — ■■, n

fx " dx' sin x' =. k' ces

Pour cela, considérons l'intégrale définie

I — — \cosrx — sj—i ?,\nrx),

■.g cette intégrale étant prise depuis œ nul jusqu'à œ infini ; w étant

moindre que l'unité. En la développant par les expressions connues

de cosr^ et de sinr^r, en séries, elle devient

rdxc-^^r r^x^ r*x* ,■ — / r^x^ r*x* \]

Or on a généralement, en prenant l'intégrale depuis x nul jusqu'à .a? infini.

f x^-^ dx c-^-^

( I — w ) ( 2 — w ) . . . ( i — w ) r dx c-"-*^

En faisant ensuite ax = ^, on a

l'intégrale relative à if étant prise depuis / nul jusqu'à t infini, et k' étant supposé exprimer l'intégrale Jt~^dtc~^, prise dans ces limites. On aura ainsi

'i — w) fa — (ù). . Ai — (ù]k'

f x^^^ dx c-'^-'

d'où l'on tire

r dx c-^-^ I , — . s

I (cosr^ — i/— I sinra:)

(i— m)(2 — 6)) r» (i co)(2— w)(3 — w)(4— w) r»

V r ( I — ck) ) ( 2 — w ) ( 3 — w ) /•=*

Si l'on fait - = 5, le second membre de cette équation devient Soit A un angle dont s soit la tangente; on aura

sinA

ce qui donne

cosA — \j—\ sin A

d'où l'on tire, par le théorème connu,

cos(i — w) A — \l~\ sin(i — w)A

La tangente s est non seulement la tangente de l'angle A, mais encore celle du même angle, augmenté d'un multiple quelconque de la demicirconférence; mais le premier membre de cette équation devant se réduire à l'unité, lorsque s est nul, il est clair que l'on doit prendre pour A le plus petit des angles qui ont s pour tangente.

Maintenant, cette équation donne, en y substituant - au lieu de s, = ^^^[cos(i — w)A — y/— isin(i — w) a];

on a donc

r:r75[cos(i — «) A — v/— I sin(i — co)A].

En comparant séparément les quantités réelles et les imaginaires.

on a

/dxco^rx c-^-^ k' , ^ , ^ "" r^cos(i-a))A, (a2+ r2) 2

dx s'm rxc~'^^ k' . , = i — - sin 1 — M A.

Si a est nul, - est infini, et le plus petit angle, dont il est la tangente, est -; on a donc

/dxcosrx k'

sin — !

'dx s'mrx k' mtt

= — CCS

En supposant r= i et w = — , on aura les équations qu'il s'agissait de démontrer.