APPLICATION DU CALCUL DES PROBABILITÉS AUX OPÉRATIONS GÉODÉSIQUES

On détermine la longueur d'un grand arc, à la surface de la Terre, par une chaîne de triangles qui s'appuient sur une base mesurée avec exactitude. Mais, quelque précision que l'on apporte dans la mesure des angles, leurs erreurs inévitables peuvent, en s'accumulant, écarter sensiblement de la vérité la valeur de l'arc que l'on a conclue d'un grand nombre de triangles. On ne connaît donc qu'imparfaitement cette valeur, si l'on ne peut pas assigner la probabilité que son erreur est comprise dans des limites données. Le désir d'étendre l'application du Calcul des Probabilités à la Philosophie naturelle m'a fait rechercher les formules propres à cet objet.

Cette application consiste à tirer des observations les résultats les plus probables et à déterminer la probabilité des erreurs dont ils sont toujours susceptibles. Lorsque, ces résultats étant connus à peu près, on veut les corriger par un grand nombre d'observations, le problème se réduit à déterminer la probabilité d'une ou de plusieurs fonctions linéaires des erreurs partielles des observations, la loi de probabilité de ces erreurs étant supposée connue. J'ai donné, dans le Livre II de ma Théorie analytique des Probabilités, une méthode et des formules générales pour cet objet, et je les ai appliquées, dans le premier Supplément, à quelques points intéressants du Système du monde. Dans les questions d'Astronomie, chaque observation fournit, pour corriger les éléments, une équation de condition : lorsque ces équations sont très multipliées, mes formules donnent, à la fois, les corrections les

plus avantageuses et la probabilité que les erreurs, après ces corrections, seront contenues dans des limites assignées, quelle que soit d'ailleurs la loi de probabilité des erreurs de chaque observation. Il est d'autant plus nécessaire de se rendre indépendant de cette loi, que les lois les plus simples sont toujours infiniment peu probables, vu le nombre infini de celles qui peuvent exister dans la nature. Mais la loi inconnue que suivent les observations dont on fait usage introduit dans les formules une indéterminée qui ne permettrait point de les réduire en nombres, si l'on ne parvenait pas à l'éliminer. C'est ce que j'ai fait, au moyen de la somme des carrés des restes, lorsque l'on a substitué, dans chaque équation de condition, les corrections les plus probables. Les questions géodésiques n'offrant point de semblables équations, il a fallu chercher un autre moyen d'éliminer des formules de probabilité l'indéterminée dépendante de la loi de probabilité des erreurs de chaque observation partielle. La quantité dont la somme des angles de chaque triangle observé surpasse deux angles droits plus l'excès sphérique m'a fourni ce moyen, et j'ai remplacé par la somme des carrés de ces quantités la somme des carrés des restes des équations de condition. Par là, on peut déterminer numériquement la probabilité que le résultat final d'une longue suite d'opérations géodésiques n'excède pas une quantité donnée. En appliquant ces formules à la mesure d'une perpendiculaire à la méridienne, elles feront apprécier les erreurs, non seulement de l'arc total, mais encore de la différence en longitude de ses points extrêmes, conclue de la chaîne des triangles qui les unissent et des azimuts du premier et du dernier côté de cette chaîne. Si l'on diminue, autant qu'il est possible, le nombre des triangles et si Ton donne une grande précision à la mesure de leurs angles, deux avantages que procure l'emploi du cercle répétiteur et des réverbères, ce moyen d'avoir la différence en longitude des points extrêmes de la perpendiculaire sera l'un des meilleurs dont on puisse faire usage.

Pour s'assurer de l'exactitude d'un grand arc qui s'appuie sur une base mesurée vers une de ses extrémités, on mesure une seconde base

vers l'autre extrémité, et l'on conclut de l'une de ces bases la longueur de l'autre. Si la longueur ainsi calculée s'écarte très peu de l'observation, il y a tout lieu de croire que la chaîne des triangles est exacte à fort peu près, ainsi que la valeur du grand arc qui en résulte. On corrige ensuite cette valeur, en modifiant les angles des triangles, de manière que les bases calculées s'accordent avec les bases mesurées, ce qui peut se faire d'une infinité de manières. Celles que l'on a jusqu'à présent employées sont fondées sur des considérations vagues et incertaines. Les méthodes exposées dans le Livre II conduisent h des formules très simples, pour avoir directement la correction de l'arc total qui résulte des mesures de plusieurs bases. Ces mesures ont non seulement l'avantage de corriger l'arc, mais encore d'augmenter ce que j'ai nommé le poids d'un résultat, c'est-à-dire de rendre la probabilité de ses erreurs plus rapidement décroissante, en sorte que les mêmes erreurs deviennent moins probables par la multiplicité des bases. J'expose ici les lois de probabilité des erreurs que fait naître l'addition de nouvelles bases. La mesure d'une seconde base sert pareillement à corriger la différence en longitude des points extrêmes d'une perpendiculaire à la méridienne et à augmenter le poids de la valeur de cette différence.

Avant que l'on apportât, dans les observations et dans les calculs, l'exactitude que l'on exige maintenant, on considérait les côtés des triangles géodésiques comme rectilignes, et l'on supposait la somme de leurs angles égale à deux angles droits. Legendre a remarqué le premier que les deux erreurs qu'on commet ainsi se compensent mutuellement, c'est-à-dire qu'en retranchant de chaque angle d'un triangle le tiers de l'excès sphérique, on peut négliger la courbure de ses côtés et les regarder comme rectilignes. Mais l'excès des trois angles observés sur deux angles droits se compose de l'excès sphérique et de la somme des erreurs de la mesure de chacun des angles. L'analyse des probabilités fait voir que l'on doit encore retrancher de chaque angle le tiers de cette somme, pour avoir la loi de probabilité des erreurs des résultats le plus rapidement décroissante. Ainsi, par la répar-

tition égale de l'erreur de la somme observée des trois angles du triangle considéré comme rectiligne, on corrige à la fois l'excès sphérique et les erreurs des observations. Le poids des angles ainsi corrigés augmente, en sorte que les mêmes erreurs deviennent, par cette correction, moins probables. Il y a donc de l'avantage à observer les trois angles de chaque triangle, et à les corriger comme on vient de le dire. Le simple bon sens fait pressentir cet avantage; mais le Calcul des probabilités peut seul l'apprécier et faire voir que, par cette correction, il devient le plus grand qu'il est possible.

Les formules dont je viens de parler sont relatives à des observations futures : ainsi, lorsqu'on les applique à des observations passées, on fait abstraction de toutes les données que la comparaison de ces observations peut fournir sur les erreurs, données dont on peut faire usage quand on connaît la loi de probabilité des erreurs des observations partielles. Si cette loi est exprimée par une constante moindre que l'unité, dont l'exposant soit le carré de l'erreur, alors mes formules conviennent aux observations passées comme aux observations futures, et elles satisfont à toutes les données de ces observations, comme je l'ai fait voir dans le n** 25 du Livre II. Dans le cas où les angles sont mesurés au moyen d'un cercle répétiteur, chaque angle simple est le résultat moyen d'un grand nombre de mesures du même angle contenues dans l'arc total observé; l'erreur de l'angle est donc la moyenne des erreurs de toutes ces mesures; et, par le n° 18 du Livre II, la probabilité de cette erreur est exprimée par une constante, dont l'exposant est égal au carré de l'erreur. L'emploi du cercle répétiteur réunit donc à l'avantage de donner une mesure précise des angles celui d'établir une loi de probabilité des erreurs qui satisfait à toutes les données des observations.

Pour appliquer avec succès les formules de probabilité aux observations géodésiques, il faut rapporter fidèlement toutes celles que l'on admettrait si elles étaient isolées, et n'en rejeter aucune par la seule considération qu'elle s'éloigne un peu des autres. Chaque angle doit être uniquement déterminé par ses mesures, sans égard aux deux

SUPPLEMENTS. 535

autres angles du triangle auquel il appartient; autrement, l'erreur de la somme des trois angles ne serait pas le simple résultat des observations, comme les formules de probabilité le supposent. Cette remarque me paraît importante, pour démêler la vérité au milieu des légères incertitudes que les observations présentent.

1. Concevons, sur une sphère, un arc de grand cercle AA'A"..., et supposons que l'on ait formé autour la chaîne des triangles ACC, CC'C", C'CC", C'T/C'% . . ., dont les côtés CC, C'C", C'C", . . . coupent

cet arc en A', A", A'", Je ne donne point de figure, parce qu'il est

facile de la tracer d'après ces indications. Soient A l'angle CAA',

A(^^ l'angle C'A' A", A^^^ l'angle C'A" A'" Soient encore C l'angle

ACC, C*J l'angle CCC", C^ l'angle CC'C", .... On aura

a étant l'erreur de l'angle observé C, t étant l'excès des angles du triangle sphérique ACA' sur -k qui exprime deux angles droits ou la demi-circonférence dont le rayon est l'unité. On aura pareillement

A(0 + A(2) + Cf») - a(0 =7: + /(O,

a^'> étant l'erreur de l'angle observé CCC", et t^*^ étant l'excès des angles du triangle sphérique A' C'A" sur deux angles droits. On formera semblablement les équations

A(2) + A(3) + C(2) — a(2) =z TT + /(2), A(3) + A(^) + C(3) — a(3) = TT + /(3),

d'où l'on tire facilement

AC20 = A + C — C(< ) + C(2) — C(3) + . . . + G(2'-2) C(^i-i) — a -+- a('^ — «(2) + «(3) . . . a(2/-2) | ^ai-i)

en supposant donc A bien connu, l'erreur de l'angle A<"^ est

af«-0 — a(«-2) + a(«-3) — . . . ± a,

le signe supérieur ayant lieu si n est impair, et le signe inférieur ayant lieu si n est pair. Les valeurs de t, i^'\ . . . sont fort petites et peuvent être déterminées avec précision.

Il s'agit maintenant d'avoir la probabilité que cette erreur sera contenue dans des limites données. Pour cela, je supposerai d'abord que la probabilité d'une erreur quelconque a est proportionnelle à c~^^^y a étant le nombre dont le logarithme hyperbolique est l'unité. Cette supposition, la plus naturelle et la plus simple de toutes, résulte de l'emploi du cercle répétiteur dans la mesure des angles des triangles. En effet, nommons <p(^) la probabilité d'une erreur q dans la mesure d'un angle simple, cette probabilité étant supposée la même pour les erreurs positives et pour les erreurs négatives. Supposons encore que s soit le nombre des angles simples contenus dans toutes les séries que l'on a faites pour déterminer cet angle. La probabilité que l'erreur du

résultat moyen ou de l'angle conclu par ces séries sera ± — est, par le n*" 18 du Livre II, proportionnelle à

/. tk"

k étant égal à fdq(!^{q), l'intégrale étant prise depuis q nul jusqu'à q égal à sa plus grande valeur, que l'on peut toujours supposer infinie ; en faisant ç(^) discontinu et nul au delà de la limite de ^, k' est égal fq^ dq<:^{q). En supposant donc

ç-Aa» ggj,j^ Y'à probabilité de l'erreur a. On verra, à la fin de cet article, que les résultats suivants ont toujours lieu, quelle que soit la probabilité de a.

Soient ê et y les erreurs des deux angles AC'C et CAC du premier

triangle AGC; la probabilité des trois erreurs a, € et y sera proportionnelle h

mais l'observation de ces angles donne la somme a + ê + y des trois erreurs; car la somme des trois angles devant être égale à deux angles droits plus la surface du triangle ACC, si l'on nomme T l'excès des trois angles observés sur cette quantité, on aura

l'exponentielle précédente devient ainsi

„(6.t,-lr^^(,-!T)--ÎT.

ê étant susceptible de toutes les valeurs depuis — ao jusqu'à + qo ; il faut multiplier cette exponentielle par d^ et prendre l'intégrale dans ces limites, ce qui donne une intégrale qui a pour facteur

la probabilité de a est donc proportionnelle à ce facteur. La valeur de a la plus probable est évidemment celle qui rend nulle la quantité a — ^T; il faut donc corriger les trois angles de chaque triangle du tiers de l'excès T de leur somme observée sur deux angles droits plus l'excès sphérique. C'est ce que l'on fait communément.

Nommons a et ê les quantités a — ^T, ê — ^T; la probabilité de a sera donc proportionnelle à

Si l'on diminue l'angle G de {T, c'est-à-dire si l'on emploie les angles corrigés de chaque triangle, en nommant C, C"^ ... ce que deviennent, par ces corrections, les angles G, G''\ . . ., on aura

OFMvres de L. — \\\. 68

La probabilité que la quantité

âf«-n â(«-2)...±:â

ou Terreur de l'angle A^"^ sera comprise dans les limites ± ry^/i, sera, parle n** 18 cité,

—j--~Jdrc

On peut observer ici l'avantage que produit l'observation des trois angles de chaque triangle, par la correction de ces angles. Sans cette correction, l'erreur de l'angle A^"> serait

et la probabilité que cette erreur est comprise dans les limites ± r\ln serait

probabilité moindre que la précédente dans laquelle le poids du résultat est |A, au lieu qu'il est ici h.

Déterminons maintenant la valeur de h. Parmi les données des observations, les quantités dont les sommes des angles de chaque triangle surpassent deux angles droits plus l'excès sphérique paraissent être les plus propres à faire connaître cette valeur. Par ce qui précède, la probabilité de l'existence simultanée de a et de T est proportionnelle à

En multipliant cette exponentielle par c?a, et prenant l'intégrale depuis

a =: — 00 jusqu'à a = ao , l'intégrale aura pour facteur c ^ , et ce facteur sera proportionnel à la probabilité de T; cette probabilité sera donc

dJc 3

fdTc =>

l'intégrale du dénominateur étant prise depuis T = — qo jusqu'à T = Qo . Elle sera ainsi proportionnelle à

Ici Févénement observé est que les sommes des angles du premier triangle, du deuxième, du troisième, etc. surpassent deux angles droits plus l'excès sphérique, respectivement, des quantités!, T^'\ ...,T"~*\ n étant le nombre des triangles; la probabilité de cet événement sera donc proportionnelle à

en faisant

Maintenant, si l'on considère les diverses valeurs de h comme causes de l'événement observé, la probabilité de h sera, par le principe de la probabilité des causes tirée des événements observés, égale à

h^dhc »

fh^d/ic '

l'intégrale du dénominateur étant prise pour toutes les valeurs de h, c'est-à-dire depuis h = o jusqu'à h = ce . La valeur de h qu'il faut choisir est évidemment l'intégrale des produits des valeurs de h multipliées par leurs probabilités; cette valeur est donc

fh * dhc ^ Jh^dhc »

"et

les intégrales étant prises depuis A = o jusqu'à h = ^ . L'intégrale du numérateur est égale à

La fraction précédente devient ainsi -^^^^— i c'est donc la valeur de A

qu'il faut adopter. Si l'on suppose n un grand nombre, cette valeur devient à fort peu près —r:^- Cette quantité est la valeur de h qui rend l'événement observé le plus probable, la probabilité de cet événement,

a priori, étant proportionnelle à h^c ' . En prenant pour h la quan-

tité -^) la probabilité que l'erreur de l'angle A^"^ sera comprise dans

les limites dr. r\^n est

— ^ fdr c * »' ;

la probabilité qu'elle sera comprise dans les limites ± fOr' est donc

l'intégrale étant prise depuis r' nul.

2. Supposons l'arc AA'A"... perpendiculaire au méridien du point A. Soient «p l'angle formé par ce méridien et par celui du point extrême A^"K et V le plus petit des angles que ce dernier méridien fait

avec l'arc AA'. . .; on aura

cosV

Sm© = — ;-)

^ sin/

/ étant la latitude du point A. En désignant donc par S9 et SV les erreurs des angles ç et V, on aura

ôVsinV

sin/cos9

Si l'on a mesuré avec une grande exactitude l'angle que le dernier côté de la chaîne des triangles forme en A^"^ avec la méridienne de ce point, il est facile de voir que

SA^'^^étant l'erreur de A^"^; l'intégrale précédente en r' est donc la pro-

SUPPLEMENTS. 541

l)abilité que l'erreur Sep de la longitude <p conclue des azimuts observés

en A et A<"' sera comprise dans les limites ± i^r^-^—. •

^ ' sm/cos^

Il résulte de l'analyse exposée dans le Chapitre V du Livre III de la Mécanique céleste que, s'il existe une excentricité dans les parallèles terrestres, elle n'a aucune influence sensible sur la valeur de 9 conclue de cette manière, pourvu que l'arc mesuré soit peu considérable. En mesurant donc, avec une grande précision, les angles des divers triangles et les amplitudes des points extrêmes, on aura fort exactement la différence en longitude de ces points, et l'on pourra, par la formule précédente, apprécier la probabilité des petites erreurs à craindre sur cette différence.

Déterminons présentement la probabilité que l'erreur de la mesure

de la ligne A A' A" sera comprise dans des limites données. Pour

cela, supposons que dans les triangles CAC, CGC", ... on ait corrigé les angles comme on le fait ordinairement, c'est-à-dire en retranchant de chacun le tiers de la quantité dont la somme des trois angles observés surpasse deux angles droits plus l'excès sphérique. Que l'on abaisse des sommets C, C, C", . . . des perpendiculaires CI, CI', CI", . .. sur la ligne A A' A". . .; on aura, à très peu près,

AI = ACcosIAC.

On aura ensuite, à fort peu près,

ir = CC'cosA(o

et, généralement,

I(»)I(f+.)c(f)C(i+.)cosA('+').

En supposant donc que S soit la caractéristique des erreurs, on aura

On a, par ce qui précède.

ensuite, on a, dans le (? + i)'*"""^ triangle,

ru)CM+i)— - - " ~ — - ,

"" sinCî'-»)C('+«)C")

ce qui donne

5C(/+')C('-oC(0colC('+''C('-«)O^'

mais a^'^ est, par ce qui précède, l'erreur de l'angle G^'^ou G<'~'^G('^C<'^'^ corrigé en en retranchant le tiers de l'excès de la somme des trois angles observés du triangle sur deux angles droits. Soit ê^'^ l'erreur de l'angle G''~'^C^'^'^C^'\ ainsi corrigé; — (a^^ + ê^'^ sera l'erreur du troisième angle G^'-^'^G^'-'^G^'^ On aura donc

ce qui donne, en observant que, dans le premier triangle, le côté G^' "G est AG que je suppose mesuré très exactement,

S[(a(') 4- 6(") colCC'-*-' ) et'-" C^'' + 6(') colC('-« ^ C^'-»-' ^ G'')],

le signe S servant à exprimer la somme de toutes les quantités qu'il renferme depuis i = o jusqu'à i inclusivement. On aura donc ainsi la valeur de S.F'^F'^'^ En réunissant toutes ces valeurs, on aura, pour l'erreur entière de leur somme ou de la ligne mesurée, une expression de cette forme

(o) pâ-hq'ë+p^^^a^*^-hq^*^E''^ +

La probabilité des valeurs simultanées de a et de ê est, par ce qui précède, proportionnelle à

En faisant

SUPPLÉMENTS. 5tô

l'exponentielle précédente devient

-- Aa»--Aa«

ainsi les lois de probabilité des valeurs de a et de a sont les mêmes. La fonction (o) prend alors cette forme

La probabilité que l'erreur de cette fonction, et par conséquent de la

fonction [o), est comprise dans les limites ± s est, par le n** 20 du