fdxTt[x)=ik, Jx^ dx7i:[x) =: k

les intégrales étant prises depuis x nul jusqu'à x infini; et ainsi des autres erreurs.

' Pour déterminer, dans la question présente, les constantes — et

'^=-, je supposerai d'abord la seconde nulle ou très petite, relativement

à la première, comme on peut le faire dans les grandes triangulations de la méridienne. Dans ce cas, la probabilité d'une erreur s sera, en faisant m'''= i, proportionnelle à

n étant le nombre des intervalles qui séparent les stations. La probabilité d'une valeur s' de S ou de S ? ce qui répond à une

erreur is' dans la valeur de S (s — £'), sera proportionnelle à

mais, par ce qui précède, cette probabilité est proportionnelle à

on a donc

2 0 k" 4/f" 8<7 I -i = — OU — - = -^ = -

i k kl 114,701

SUPPLEMENTS. 607

k" Si l'on suppose maintenant -r nul et /i^"= i, la probabilité d'une

a — oc

valeur s' de la somme S — — sera proportionnelle à

et la probabilité d'une même valeur s' de S(a -+- ol'-\- a") sera proportionnelle à

Si l'on suppose cette loi de probabilité la même que pour les erreurs de la somme des trois angles d'un triangle sphérique, dans les mesures géodésiques, et qui, par le n** 1 du deuxième Supplément, peut être supposée proportionnelle à

6^ étant la somme des carrés des excès observés dans la somme des erreurs des trois angles dans i triangles, on aura

k 3(/ + a On a, par ce que l'on a vu,

partant,

quantité qu'il faut diviser par le carré du nombre de secondes sexagésimales que ce rayon renferme, et alors on a

4P r,28oi k ~ io««

Supposons les distances des stations consécutives égales à 1200^"; on

trouvera qu'il y a un contre un à parier que l'erreur sur la valeur de ,^(«+0 n'est pas au-dessus de ± o"",o8555 lorsque n = 200. Il y a mille contre un à parier que l'erreur n'est pas au-dessus de ± o™,4'3.

Méthode générale du Calcul des probabilités, lorsqu'il y a plusieurs

sources d'erreurs.

La considération des deux sources d'erreur indépendantes qui existent dans les opérations du nivellement m'a conduit à examiner le cas général des observations assujetties a plusieurs sources d'erreurs. Telles sont les observations astronomiques. La plupart sont faites au moyen de deux instruments, la lunette méridienne et le cercle, dont les erreurs ne doivent pas être supposées avoir la même loi de probabilité. Dans les équations de condition que l'on déduit de ces observations, pour obtenir les éléments des mouvements célestes, ces erreurs sont multipliées par des coefficients différents pour chaque source d'erreur et pour chaque équation. Les systèmes les plus avantageux de facteurs par lesquels il faut multiplier ces équations, pour avoir les équations finales qui déterminent les éléments, ne sont plus, comme dans le cas d'une source unique d'erreurs, les coefficients de chaque élément dans les équations de condition. La facilité avec laquelle l'analyse que j'ai donnée dans le Livre II de ma Théorie des Probabilités s'applique à ce cas général va montrer les avantages de cette analyse.

Supposons d'abord que l'on ait un système d'équations de condition représentées par celle-ci

y étant un élément dont on cherche la valeur la plus avantageuse. Si l'on multiplie l'équation précédente par un facteur /^'', la réunion de tous ces produits donnera pour j l'expression

L'erreur de y sera

En désignant par s cette erreur, sa probabilité sera proportionnelle, par le numéro précédent, à l'exponentielle

- s m»» /■{'■)«+ *-^ S nCO» /(O» +. . .

Il faut déterminer /^'' de manière que

(SpU)/('))2

soit un minimum, car il est visible qu'alors la même erreur s devient moins probable que dans tout autre système de facteurs. Si l'on nomme A le numérateur de cette fraction, et si l'on fait varier /^" d'une quantité dq, on aura, par la condition du minimum, en égalant à zéro la différentielle de cette fraction.

ce qui donne pour/''^ une expression de cette forme

fin- f'P'Jl

On peut faire ici (x = i, parce que, cette quantité étant indépendante de i, elle affecte également tous les multiplicateurs /^''; ainsi la quantité /^'\ par laquelle on doit multiplier chaque équation de condition

OEuvres de L. — VII. 77

pour avoir le résultat le plus avantageux, est