if

k Je

et la probabilité d'une erreur s de ce résultat est proportionnelle à l'exponentielle

On aura, par la même analyse et par le n** 22 du Livre II, les facteurs par lesquels on doit multiplier les équations de condition pour avoir les résultats les plus avantageux, quels que soient le nombre des éléments à déterminer et le nombre des genres d'erreurs; on aura pareillement les lois de probabilité des erreurs de ces résultats.

Supposons que l'on ait, entre deux éléments œ et y, l'équation de condition

y, X<'\ S^'\ . . . étant des erreurs dont les sources sont différentes. En multipliant d'abord cette équation par un système /^'^ de facteurs, la réunion de ces produits donnera l'équation finale

X s /('•)/('■) 4-j S /?('■'/(»)= S a^i)fi) + S m^'^p^^y^'^ + S n^^^^'X^') -\-

En multipliant ensuite l'équation de condition par un autre système g^'^ de facteurs, la réunion des produits donnera une seconde équation

finale

^ S /('■'g-(') -f- 7- S p^'^ §•<'■) = S a(')g-('') + S OT^'^g'f') /('■> H-

On tire de ces deux équations finales

— S«"Y^'' S/?<'>gt')-Sa(')g(') S/^'^'f >

SmC'/^'^y"'' S/)(''g-(''— Sm<')^('')/f') S/?^'>/<';^ + . . •

L étant égal à

S /(')/('■) S /)('■) ^t') — S /('■)§•( '■) S/ïf')/(').

Le coefficient de y^'^ dans cette valeur est

En changeant m''^ en n"\ r''\ ..., on aura les coefficients correspondants de X<'\ §('>, En nommant donc s la valeur de la partie de a-

dépendante des erreurs y''\ X'", S'*', . . ., la probabilité de cette valeur sera, par ce qui précède, proportionnelle à l'exponentielle

en faisant

SM('Y'''2(S;)(')g('))2 — 2SM"y(')^(') S;>('")/""^ S/î(')g(')+ SMf'Jg-(')2(S;>(')/0))2

M^'^ étant égal à

^ /f Ir

11 faut maintenant déterminer /"^'^ et ^'^ de manière que H soit un minimum. Pour cela, on fera varier /^'\ et l'on égalera à zéro le coefficient de sa différentielle; ce qui donnera, en nommant P le numérateur de l'expression de H,

o = M('Y"'US/>"'^ê^'')^ — M(')g-(') S;>(''/"'^ S/?(')g(')

— /?('■) SM''V^''g^') s pd) gd) -\^ p(i) SMf'>g-<'^2 S/)(')/"'*

JLi

Il est facile de voir que l'on satisfait à cette équation en supposant

fii)=-—, Mi)=!l—x

et l'on doit en conclure que l'on satisferait, par la même supposition,

à l'équation correspondante que donnerait dR = o, en y faisant varier g^'K On voit encore que les mêmes valeurs de /^'^ et de g^'^ satisfont aux équations semblables qui résultent de la considération de l'élément y.

Si l'on a, entre les éléments oc, y, z, . . ., des équations de condition représentées par l'équation générale

Y^", X''\ S''\ ... étant des erreurs de divers genres, on trouvera par l'analyse précédente que les facteurs par lesquels on doit multiplier respectivement cette équation, pour former les équations finales qui donnent les valeurs des éléments les plus avantageuses, sont, pour la première équation finale, représentés par

Ils sont représentés, pour la seconde équation finale, par

k" k" It"

^ k le

et ainsi de suite. En appliquant donc aux équations ainsi multipliées l'analyse du n° 2 du premier Supplément, on aura les valeurs des éléments les plus avantageuses et les lois de probabilités de leurs erreurs.

Pour donner un exemple de cette application, ne considérons que deux éléments ic et j. Si l'on fait

U" ïf" k"

On multipliera l'équation de condition précédente par ~-^i et l'on en tirera

ni) ni') n(.i)2 n^i) nU) n(«)

mais la condition de la méthode la plus avantageuse donne

on aura donc

Substituant cette valeur de j dans l'équation générale de condition, et faisant

iw — ni) — n(0 :^ ,

dp = a^i)-p(i) — ^^,

on aura

^ /(tl2 >

et la probabilité d'une erreur 5 de cette valeur sera proportionnelle à

k" k" Cette analyse suppose la connaissance des constantes y et y Mais on

6ik THÉORIE ANALYTIQUE DES PROBABILITÉS.

peut en obtenir, par les observations mêmes, des valeurs très approchées, de la manière suivante.

Concevons que l'on ait déterminé les éléments œ, y, z, ... par la méthode suivant laquelle on forme les équations finales, en multipliant chaque équation de condition successivement par le coefficient correspondant de chaque élément. Si l'on substitue les valeurs des éléments ainsi déterminées dans l'équation de condition

Hi)x -f- />('■) j -h ... — a(^) ■— m(') y(') -4- n<" X(^> + . . . ,

on aura une équation de cette forme

Supposons, pour plus de simplicité, que l'on n'ait que les deux genres d'erreurs y^'^et^*" : on multipliera d'abord l'équation précédente par m*". En élevant ensuite chaque membre au carré et prenant la somme de toutes les équations ainsi formées, on aura

La valeur moyenne de /w^')*-^^"' est évidemment

m^'^'^ fy^dy<f>{y) JW9I7)

les intégrales étant prises depuis y = — oo jusqu'à y infini, ce qui

donne — v On a pareillement -=-m"^'^/i"'^ pour la valeur moyenne

de m'''''n''^2X''^^. On trouve de la même manière que la valeur moyenne de 2m''"7if''y('^X('^ est nulle; on a donc, en substituant au lieu des quantités leurs valeurs moyennes, ce que l'on peut faire avec d'autant plus de précision que le nombre des observations est plus grand,

On aura pareillement

de là on tire

^k" aSwf')* Sm(')2R<')2— 2Sm(^)2;t(f)2 Sn<')''Rt^)a k "~ S/n(')* S/i('>* — (Sm(')2n(')2)a '

4P' 2Sm(')* Snf')2R(02 2S/n(')2„(t)2 Sm(')2R(02

ff S/n"')* Sn(')*— (S/n(')2n<')2)2

en désignant donc par 2? et 2Q les numérateurs de ces deux expressions, les facteurs par lesquels on doit multiplier l'équation de condition seront

4 k" 4 /f" 11 s'agit maintenant de faire voir que ces valeurs de ^^■> ^ sont fort

approchées. Pour cela, ne considérons qu'un élément x : l'équation de condition

donnera

Substituant cette valeur dans l'équation de condition, on aura

^,., /(')Sa<')/<'^— a<')S/<')2

mais il est facile de voir que les valeurs de S/'''m^-^y^ et de S l^'^ n^'^l^'^

sont nulles par la supposition des erreurs négatives aussi probables que les erreurs positives ; on peut donc faire, comme ci-dessus,

ce qu'il fallait établir.