O OU A
De plus, Sj,o est nul quand x est zéro, et égal à l'unité quand x est ou I ou 2, ou 3, . . ., puisqu'alors la probabilité du joueur B se change
en certitude; la fonction génératrice de z^^^ est donc -— -; c'est le
coefficient de /'" dans le développement de la fonction génératrice suivant les puissances de t'\ on aura donc
i — mt I — /'
ce qui donne
. , t{i — mt] Ai < — —
par conséquent la fonction génératrice de z^.^^' est , , tit — mt]
^ ' [i — t][i — mt — m't'—nU'y
en la mettant sous cette forme
I — / (m! -\- nt\
\\ — mt I
et la développant par rapport aux puissances de /, on a
1 — ^L \i — mtj \i—mtj \\ — mt) J
Le coefficient de t'^' dans cette série est
i — t \ I — mt
SUPPLEMENTS. 623
et celui de t^ dans le développement de cette dernière fonction sera l'expression de z^^^^. Or, si l'on réduit d'abord l'expression t (— — — A en une série ordonnée selon les puissances de t, et qu'on la multiplie ensuite par le développement de -^77' il est facile de voir que le coefficient de i^ dans ce produit est ce que devient la série en y faisant ^ = I et s'arrêtant à la puissance a? de ^; et l'on trouvera, pour la valeur de ce coefficient ou de z^^^',
x' n x'(x' — i) «* x'(x' — i^^x' — 2) «3 x'ix' — \),..{x' — x-t-2) n^-^
x' V x' n x'ix' — i) «2 x'{x' — \\..Ax' — j:-j-3) «^-* 1
En désignant par j^ -^ la probabilité du joueur A, on serait conduit, par les mêmes raisonnements, à une équation semblable aux diff*érences partielles,
qui donne pareillement pour la variable ya;,x' une fonction génératrice de la forme
I — mi — m' t' — ntl'
A, et A', étant, comme plus haut, des fonctions arbitraires de t et de t' que l'on déterminera par les mêmes considérations. En eff"et la
fonction génératrice de jo,ar' est __ ,> celle de j^,o est l'unité : on formera donc les équations
d'où l'on tire
;ij«niii jmuuuMsiijPij i .1 i 1 i,i»»^».'
et
A,< + I I — mt '
d'où l'on conclut
Aii = — mt.
La fonction génératrice de yx,x' sera donc
■ .— — mt
^ ' i — mt — m' t' — ntt'
laquelle, développée selon les puissances de t et de t', donnera, par le coefficient de f^t'^', l'expression dey^cx q"i sera d'une forme semblable à celle de z^^^', quoique un peu plus compliquée.
En ajoutant les deux fonctions génératrices [a) et (fe), leur somme se réduit à celle-ci
dans laquelle le coefficient de t^t'^' est l'unité; ainsi l'on a
Xx,x'+ Zx,x' = i;
et effectivement, la partie doit être nécessairement gagnée par l'un des joueurs, car l'un et l'autre sont certains de pouvoir extraire chacun de leur urne les nombres déterminés de boules blanches.
Maintenant, supposons ^ = o et conséquemment ^ = i, on a
m = o, m'=i et w = o;
alors l'expression de z^^^' devient l'unité; ce qui est évident, puisque le joueur B, n'ayant plus de chances de perte, doit toujours finir par gagner.
Si, au contraire, on suppose p = j et ^ = o, c'est-à-dire si le premier joueur A compte un point avant chaque tirage du joueur B,
alors
m = q', m' = o et n=p';
x' étant plus grand que x ou égal, l'expression z^^^' se réduit à zéro;
et, en effet, il est évidemment impossible que, dans ce cas, le joueur B puisse gagner la partie; mais, quand x est plus grand que x' , la valeur ^6 Zx^y.' prend cette forme
Dans cette supposition, le joueur B ne peut gagner qu'autant qu'il amènera x' boules blanches avant x — x' boules noires; autrement, il est devancé par le joueur A qui compte un point à chaque coup : cette expression de z^^^' est donc la probabilité que le joueur B aura tiré x' boules blanches avant d'en avoir extrait x ~ x' noires, et, par conséquent, la probabilité pour gagner, s'il faisait le pari avec le joueur A, qui compterait alors un point par la sortie de chaque boule noire tandis qu'il en compte un à la sortie d'une blanche, d'atteindre x' points avant que son adversaire en ait x — x'; ce qui est le problème des partis (*).
(*) La fonction génératrice de Zx,x' se réduit dans ce cas à
et l'équation aux différences partielles correspondante serait
Zx,x' = Ç Zx—\,x"^ P ^X—X^X'—l')
dans laquelle Zx,x' est une fonction de x et de x' que nous désignerons par <p(.r, x')\ si l'on fait X — x'— s, on aura
et, si l'on représente par Zs^x' cette dernière fonction, il en résulte
^x,x' -= ^*,x'> Zx—l,x' ^^ ^s—i,x'^ ^x~ i,x'—\ — - ^s,x'—l )
et l'équation aux différences partielles se change en celle-ci
^s,x' ^^^ Ç ^s—l,x'~^P ^S,X'—lj
équation à laquelle conduirait directement le problème des partis dans les conditions énoncées ci-dessus. En faisant attention que, par suite de cette transformation, 2^,0 = 1 et 3o,x' = o, et que Zo,o ne peut avoir lieu, il est aisé de voir que la fonction génératrice de ^s^x' sera
f(i~q't) (l-t){l-q't-p'fy
dans le développement de laquelle le coefficient de t^t'^' sera l'expression de Zg^x--
OFMvres de L. — VU. 79
Si l'on examine avec attention la forme de l'expression générale qui donne s^y, on reconnaîtra que ce problème peut encore être résolu, et même avec simplicité, au moyen de la théorie des combinaisons : en effet, soient a le nombre des boules blanches contenues dans l'urne du joueur A, et h celui des noires; a' le nombre des boules blanches du joueur B, et è' celui des noires; en considérant, comme'^on l'a déjà fait, l'ensemble de deux tirages successifs de A et B comme un coup,
aa! sera le nombre des combinaisons dans lesquelles les joueurs amènent chacun une boule blanche ;
ah' celui des combinaisons qui donneront une boule blanche à A et une noire à B ;
a!h celui des combinaisons qui donneront, au contraire, une boule noire à A et une blanche à B ;
hh' celui des combinaisons dans lesquelles l'un et l'autre joueur tirent une boule noire ;
Et la somme aa!-\- ah' -\- a'h -\- hh' formera l'ensemble de toutes les combinaisons qui peuvent avoir lieu dans un coup. Les combinaisons où les joueurs amènent chacun une boule noire n'apportant aucun changement à leur position, nous pouvons en faire abstraction, et alors ne nous occuper que des coups où il sera amené au moins une boule blanche. Il est visible qu'en x-\-x' coups semblables l'un des joueurs a nécessairement gagné, et la partie doit être décidée : or le nombre de toutes les combinaisons également possibles, suivant lesquelles ces x-\-x' coups peuvent se présenter, sera
[aa' -{- ah' -\- a' bY^^' ;
la question se réduit donc à choisir dans toutes ces combinaisons celles qui font gagner le joueur B, c'est-à-dire celles dans lesquelles ce joueur aura x' boules blanches avant que le joueur A en ait. amené x. Pour fixer les idées, supposons x' plus grand que x; on peut former les hypothèses suivantes : ou le joueur B aura gagné au ^''^™^ coup, c'est-à-dire en tirant sans interruption une boule blanche à chaque coup, et alors le nombre des combinaisons précédentes qui se rappor-
SUPPLEMENTS. 627
tent à ce cas est évidemment
^ a:'{x'-i)...{x'~x^-^ ^^, ^^,^^,"j ,,^ ah'-f-a'bY;
