X-t.Jc =^pyx+\,x-i -\-qyx-t,x-\y
qui donne, pour la fonction génératrice de yx,x^
qt^l'—t+pf'
A étant une fonction arbitraire de t, A! et B' deux fonctions arbitraires de t' . Pour les déterminer plus commodément, nous transformerons cette fonction génératrice en celle-ci
A, t-^ K\ + b; W qt^t'—t-hpt' '
dans laquelle A,, A', et B', sont, comme plus haut, des fonctions arbi-
A' traires de t et de t'. Or -j, est le coefficient de z" dans le développement
de la fonction par rapport aux puissances de t, ou la fonction génératrice de jo,a;'; mais, par les conditions du problème, y^.x' est nul quel que soit ^'; par conséquent sa fonction génératrice l'est aussi; A', est donc égal à zéro.
Le coefficient de t'^y dans le développement de la fonction génératrice par rapport à /', est — A<, ce qui est en même temps la fonction génératrice de ra,,o» quantité qui est nulle tant que x est moindre que la somme des jetons ona -h b, et qui devient l'unité quand .x = a-h b; A< est donc une fonction de t qui a pour facteur t"'^^, et dont on peut ne tenir aucun compte dans le numérateur de la fonction génératrice, car elle ne doit donner que des puissances de t supérieures à z''^*, et nous n'avons en vue que d'avoir une fonction génératrice composée des puissances inférieures de t, puisque x ne peut s'étendre que depuis x ^^^^ o jusqu'à X =^a -h b.
La fonction génératrice de jor.a;'» ainsi limitée entre ces valeurs, se
réduit donc à
B\tt' qfH'—t-\-pt'^
laquelle on peut mettre aisément sous cette forme
iBj,
la» ip ]
d'où l'on tire, pour le coefficient de /'"^*, l'expression
Mais ce coefficient est la fonction génératrice de ya+b,x'> quantité qui est égale à l'unité; car il est certain que le joueur A a gagné la partie lorsqu'il a gagné tous les jetons de B : de plus, x' doit être ici zéro ou un nombre pair, puisque le nombre de coups dans lesquels A peut gagner la partie est égal à b plus un nombre pair; et, en effet, il doit gagner tous les jetons de B, et encore regagner chaque jeton qu'il a perdu, ce qui exige deux coups. La série
qui représente le coefficient de tf^'^^, est donc égale à ,^> et l'on en conclut
s/h-^PQ
Maintenant le coefficient de t, tiré du développement de la fonc-
don (II), toujours par rapport aux puissances de /, sera
et en substituant pour — ^ sa valeur, on aura ce coeflicient ou la fonc-
P tion génératrice de y^^x égale à
(? -^ s/ji -^Pl)°- {? - V^FS -iPl)"
Q.l'pl'
'"'■^GVf.-4'''r-(f'-\/f'-^'")""
ou
-jbpbt'b (i -t- y/i - /^pqt'i)''— (i - ^r- ^pqt'-^Y •-'■^ {.^sJi-^pqnY^'-ii-sjT^T^^Y^''
ce qui est la formule (o) de la Théorie analytique.
