X' (x -hj). . .ix -\- x' — i] x

Remarques sur les fonctions génératrices.

4. Soit u une fonction génératrice à une ou plusieurs variables ; toute équation entre cette fonction et ses variables, linéaire par rapport à w, rationnelle par rapport aux variables, subsistera encore si l'on passe des fonctions génératrices aux coefficients, entre ces mêmes coefficients, et donnera lieu à une équation aux différences partielles ; mais si, dans cette équation aux différences partielles, on repasse des coefficients aux fonctions génératrices, on n'arrivera plus à une équation rigoureusement exacte, à moins qu'on n'y rétablisse en même

temps les fonctions des variables qui ont pu disparaître dans le premier passage. Ainsi, dans une des questions que nous avons traitées plus haut, l'équation aux différences partielles

donnerait, en remontant simplement des coefficients aux fonctions

génératrices, celle-ci

u = mut -h m' ul' -\- nutl',

laquelle n'est point exacte; car il est aisé de voir que, d'après les conditions du problème, il faudrait ajouter au second membre la fonction génératrice de s^,© moins cette même fonction multipliée par m. Cette fonction de t, qu'il est nécessaire de rétablir dans le second membre de l'équation pour la compléter, est précisément la fonction arbitraire que nous avons eu à déterminer dans la solution de cette question. En général, les fonctions à ajouter pour avoir encore une équation dans le passage des coefficients aux fonctions génératrices sont les mêmes que les fonctions arbitraires qui forment le numérateur de la fonction génératrice intégrale, avant qu'elle soit développée.

Faute d'avoir égard à ces fonctions, on peut tomber dans des erreurs graves, en se servant de ce moyen pour intégrer les équations aux différences partielles. Par cette même raison, la marche suivie dans la solution des problèmes des n*** 8 et 10 du Livre II de la Théorie analytique des Probabilités n'est nullement rigoureuse, et semble impliquer contradiction en ce qu'elle établit une liaison entre les variables qui sont et doivent être toujours indépendantes. Sans entrer dans les considérations particulières qui ont pu la faire réussir ici, et qu'il est aisé de saisir, nous allons faire voir que la méthode d'intégration exposée au commencement de ce Supplément s'applique également à ces questions, et les résout avec non moins de simplicité.

Dans le problème du n° 8, on se propose de déterminer le sort d'un nombre n de joueurs A, B, C, . . . dont p,q, r, ... représentent les probabilités respectives, c'est-à-dire leurs probabilités pour gagner un coup lorsque, pour gagner la partie, il manque oc coups au joueur A,

x' coups au joueur B, x" coups au joueur C, etc. En nommant yx,x,x".... la probabilité du joueur A pour gagner la partie, on a l'équation aux différences partielles

Xx, X-, X', ... = PXx-i, x-, X-. ... -^ qXx, x~ « , .c, ... -l- l^Xx. x-, X"- I ....+ •.. ,

qui donne pour yx,x',x',... cette fonction génératrice

ï—pt — qt'—rt" — ...''

dans laquelle P, Q, R, ... sont autant de fonctions arbitraires des variables t, t', t", . . . qu'il y a de ces variables, en ne comprenant point / dans la première, ^' dans la deuxième, /"dans la troisième, etc. Or, cette fonction peut être mise sous la forme

P' + Q' f 4- IV </' + S' //'r + . . .

i — pt — qt'— rt" — si"

P', Q', R', ... étant, comme plus haut, des fonctions arbitraires, la première de toutes les variables à l'exception de t, la deuxième de toutes les variables en exceptant /', la troisième également de toutes les variables hormis t", et ainsi de suite. Pour les déterminer, nous observerons que, dans yx,x',x',...'> deux des indices x, x\ x'\ ... ou un plus grand nombre ne peuvent être nuls à la fois, puisque la partie cesse quand l'un des joueurs a atteint ses points; de plus, jo.x.o:',... est égal à l'unité, quels que soient x\ x", . . .; la fonction génératrice de cette expression, ou celle qui donne l'unité pour le coefficient d'un produit quelconque t"^' t"""" t'"^'" . . . , est

\-t' \ — t" i — t par conséquent, on aura

OEuvrei de L. — VU. 81

Toute valeur àe ya;,x',x'',... dans laquelle un autre indice que x est nul étant égale à zéro, la fonction génératrice correspondante devient nulle aussi; on aura donc successivement

Q'=o, R'=ro, S'=o, Partant, la fonction génératrice de yx,x',x",... sera

t' r__ ij- qt.'-rt"—...

T— t' V — /" ' * * i^t-^t' — rt" — ... '

et le coefficient de t^, dans le développement de cette fonction par rapport aux puissances de t.

d'où il est facile de tirer le coefficient de t'^'f" .. ., ou

,q-hr-{-

en ayant soin de rejeter les termes dans lesquels la puissance de q surpasse a?'— I, ceux dans lesquels la puissance de r surpasse x"— i, ....

Dans le problème du n" 10, on considère deux joueurs A et B dont les adresses soient/? et q, et dont le premier ait a jetons et le second b jetons; et l'on suppose qu'à chaque coup, celui qui perd donne un jeton à son adversaire, et que la partie ne finisse que lorsqu'un des joueurs aura perdu tous ses jetons. On demande la probabilité que l'un des joueurs, A par exemple, gagnera la partie avant ou au n'^'^^ coup.

En représentant par yx,x' la probabilité de ce joueur pour gagner la partie lorsqu'il a x jetons et lorsqu'il n'a plus que x' coups à jouer

pour atteindre les n coups, on arrive, par les premiers principes des probabilités, à l'équation aux différences partielles