LIVRE PREMIER

pourvu que, dans le développement du second membre de cette équation, on applique à la caractéristique A les exposants des puissances de Ay^t que l'on change les différences négatives en intégrales et que l'on substitue j^ au lieu de A" j^:» et comme ce développement renferme l'intégrale l'^fx^ qui peut être censée renfermer n constantes arbitraires, l'équation (2) est encore vraie, en ayant égard aux constantes arbitraires.

On peut observer que cette équation se déduit de l'équation (i), en faisant dans celle-ci n négatif et en y changeant les différences négatives en intégrales, c'est-à-dire, en écrivant 'l"ya: au lieu de 'A^y^ dans le premier membre; et généralement, dans le développement du second membre, l^'y^ au lieu de A '"j^;-

Les équations (i) et (2.) auraient également lieu, si œ, au lieu de varier de l'unité dans Aj^;» variait d'une quantité quelconque ct, pourvu^ que la variation de x dans 'Ay^; soit égale à m. En effet, il est clair

que, si dans y^ on fait oo =: —t ce' variera de cr lorsque x variera de

l'unité; Ay^; se changera dans Ay^;-, la variation de a?' étant ct, et 'Ay^ se changera dans 'Ay^, la variation de x' étant m. Maintenant si, après avoir substitué ces quantités dans les équations (i) et (2), on suppose u infiniment petit et égal à dx\ Aj^.' se changera dans la différence infiniment petite dy^. Si de plus on fait i infini et idx' = a, a étant une quantité finie, la variation de x' dans 'Ay^' sera a; on aura

j 'A"Xjc'= [(i -}- cl>v)'- i]«,

donc

Or on a

log(i -h dYx'Y= /log(i + dyjif) = idx^ = (x -^,

ce qui donne

(iH- dyjcfY=c ^"^ y

c étant le nombre dont le logarithme hyperbolique est l'unité; on a

donc

(4) '2"rx'

'^"yJc'=\c '^•^ — i^ ,

en ayant soin d'appliquer à la caractéristique d les exposants des puissances de dy^-, de changer les différences négatives en intégrales et la quantité c?**7a;' en j^;'.

On peut donner à l'équation (3) cette forme singulière qui nous sera utile dans la suite,

En effet, elle donne

Considérons un terme quelconque du développement de

\C^ dx' f, i dx' j ^

(dv A '" — '—

^-4) . En le multipliant par c^ ~d^\ et développant cette

dernière quantité, on aura

cette quantité est égale à k — . ,^'\ d'où il est facile de conclure i

f ( ç 2 di' ç S dx'

! dx' ç 2 dx' / __'^«y.

Si dans les équations (i) et (2) on suppose encore t infiniment petit et égal à dx, on aura