LIVRE PREMIER

on aura donc

a ;il^^f^ , vr.r-^2 , v^rx+2

En faisant a? = o, on aura une transformée de la suite proposée, dont les termes suivront une autre loi, et si les quantités vy^cf V^j^;, ... vont en décroissant, cette suite sera convergente. Elle se terminera toutes les fois que l'on aura \''y^= o, ce qui aura lieu lorsque la proposée sera une suite récurrente. On aura donc ainsi la somme des suites récurrentes, à compter d'un terme quelconque j^?*^» et par conséquent on aura aussi la somme de leurs termes, comprise entre deux termes quelconques y^;»^ et JK^:'»^'.

Théorèmes sur le développement des Jonctions et de leurs différences

en séries.

10. En appliquant à des fonctions particulières les principes généraux exposés dans le n** 1, on aura une infinité de théorèmes sur le développement des fonctions en séries. Nous allons présenter ici les plus remarquables.

On a généralement

[H'-iH-ï-r

Or il est clair que le coefficient de t^ dans le premier membre de cette équation est la différence n*^"^ de y a;, oc variant de i-, car ce coefficient dans uij^ — i\ est yx+i—yx ou 'Aj^, en désignant par la caractéristique 'A les différences finies, lorsque x varie de la quantité «; d'où il est facile de conclure que ce même coefficient, dans le développement de uij.—i\ , est 'à!^yx' D'ailleurs, si l'on développe

/<(iH-^— ij — r suivant les puissances de y — i, les coefficients

de t-^ dans les développements de nij — iy uy- — i\ ,... sont, par le n*^ 2, AjTa,, A^^j^, . . . ; en sorte que ce coefficient, dans M M I + - — i) — I , est [(i H- A/a;)'— i]"» pourvu que dans le développement de cette quantité on applique à la caractéristique A les exposants de puissances de Aj^., et qu'ainsi, au lieu d'une puissance quelconque (Aj^)'", on écrive A'ja?; on aura donc avec cette condition

Si l'on désigne par la caractéristique '2 l'intégrale finie, lorsque x varie de i, '^^yx sera, par le n^ 2, le coefficient de t"^ dans le développement de la fonction M (-. — ij , en faisant abstraction des constantes arbitraires que l'intégration introduit; or on a

de plus, le coefficient de i^ dans m( - — i j est I''yx> en faisant abstraction des constantes arbitraires; ce coefficient dansw(^ — i J est A'^ja?; on aura donc

(2) '2«Jx=:[(H-Ajx)'-l]-«,