LIVRE PREMIER

peut en conclure des théorèmes analogues aux précédents, sur les dérivées successives des fonctions. Je nomme dérivée d'une fonction y^

toute quantité qui en dérive, telle que ay^ + by^^^ -h ey^^^ -+- En

regardant ensuite cette fonction dérivée comme une nouvelle fonction que je désigne par y'^, la quantité ay'^ + 6j^^, + ej^^, + . . . sera une seconde dérivée de la fonction y^, et ainsi de suite. Lorsque la fonction ay^-\- by^^f -h . . . devient —yx+yxi-i^ ïa dérivée devient une différence finie.

Maintenant on a

il b e h \"

«('' + 7 + P + ÏÏ + ---) ' I r - - 1"

on a ensuite généralement, par le n*^ 2, en désignant par vjx la quantité «jx-t- ^Jx+i -+- eyx^2 + • . -, V^Jx pour le coefficient de la fonction génératrice du premier membre de cette équation ; de plus on a

Le second membre de cette équation est la fonction génératrice de

'' dx \ .1 dx^

ou dec ''^, en appliquant à la caractéristiques? les exposants de puissances de -T^, et écrivant ja; au lieu de \-p^] • De là on conclut que, sous les mêmes conditions, le second membre de l'équation (q) est la fonction génératrice de

\a + bc^-^ 4- ec ''•^ 4- /ic ^■^ + . . .) , et qu'ainsi cette équation donne, en repassant des fonctions généra-

trices aux coefficients,

[dVr Zrfrr SdXr "1 «

a + 6c rf-^ + ec '^^" + /jc '^^ -t- . . . J .

On peut ainsi obtenir une infinité de résultats semblables. Nous nous bornerons au suivant, qui nous sera utile dans la suite lul-^. — \'t\ est la fonction génératrice de

nin — i)

•^x+- Jx+'-l 1.2 •'^+5-2

ou de Yy „. De plus, on a

d'où Ton tire, en repassant par l'analyse précédente des fonctions génératrices aux coefficients

11. Je n'ai considéré jusqu'ici qu'une seule fonction y^ de x; mais la considération du produit de plusieurs fonctions de la même variable conduit à divers résultats curieux et utiles d'analyse. Soit u une fonction de t, et j;r le coefficient de t^ dans le développement de cette fonction ; soit u une fonction de t', ety'p le coefficient de t''^ dans le développement de cette fonction; soit encore u" une fonction de t'\ et y^. le coefficient de t"-^ dans son développement, et ainsi de suite. Il est clair que jK^y^j^. . . . sera le coefficient de t^t'^t"^ . . . dans le développement du produit uii'ii" ...\ ce produit sera donc la fonction génératrice de Jo^rlrl . • •• La fonction génératrice de 7x^i7.r+,7k, • • • - 7a-.r.'..rl • • • » ou de Ajj y^. y'^. . . . sera ainsi

et la fonction génératrice de ^'^yx^^ïx • • • ^^^^

uu n

tft". .

On prouvera, comme dans le n° 2, que la fonction génératrice de

^"yxy'jcy'jc • • • sera

un' u" . . . \ — ,— y, 1 ) ,

\it' t" ... j

c'est-à-dire que l'on peut changer n^w — n dans la fonction génératrice de A"y^ j^. . . . , pourvu que l'on change A~" dans H".

Appliquons ces résultats à deux fonctions j^; et j^. La fonction génératrice de A"ja;y^ sera mm'(-^ — i| • On peut la mettre sous cette forme

en la développant, elle devient

«4G-)"--:0-)""'(?-')-'i^'(7-)"lF-

les fonctions

uu I ) uu - \ 1 ) - — I I > «M — I — •

sont respectivement génératrices des produits j^ A" jj;, Aj^A^'j^j^j» A'j^A""^ j^+.2' L'équation

donnera donc, en repassant des fonctions génératrices aux coefficients,

(8) A«j^j:, = j:^A«ja:-4- « Aj;, A«-'jx+. + ""^^"'^ A2j:,.A«-2rx^.o + . . . . En changeant n dans — n, on aura

En général, on a

uu u

tv t" .

ce qui donne, en repassant des fonctions génératrices aux coefficients,

pourvu que, dans chaque terme du développement du second membre de cette équation, on place immédiatement après chaque caractéristique A, A', A", . . . , respectivement j^, y^^ j^, . . . , et qu'on multiplie ce terme par le produit des fonctions dont il ne contient point la caractéristique. Ainsi, dans le cas de trois variables, on écrira, au lieu de A'', la quantité j^pj^A""/^; au lieu de A'' A""', on écrira j^A'"j^A''j^., au lieu de A""' A'""", on écrira yx^'yxl^'"yx^ et ainsi du reste.

En faisant n négatif, l'équation (lo) subsiste encore, pourvu que l'on change les différences négatives en intégrales.

Dans le cas des différences infiniment petites, les caractéristiques A, A', A", ... se changent en d, d\ d'\ .... L'équation (lo) devient ainsi, en négligeant les différentielles d'un ordre supérieur relativement à celles d'un ordre inférieur,

d'^r^r'xfx' .• = {d + d'+d"^-...)".

Cette équation développée donne, relativement à deux fonctions y^

d^r^Tx^Tx d"r^ + n d/^ c?«-' jx + -~^- d'^fj; d^-^yjc + • . . .

En faisant n négatif, les différences négatives se changeant en intégrales, on aura

dr' S"yxr'xdx" = rxf"yx dx" -n -^ /"-^'yx dx"+*

tiin -\- i] d^r'r r « . . »