VI'H"'... J
UU
En désignant donc par 'A"j^j^y^... la différence finie du produit yxy'xy'x " • ■> lorsque x varie de i, l'équation précédente donnera, en repassant des fonctions génératrices aux coefficients
(il) '^'^rxr'xf. •..= [(! + A)'-(i + A')^-(i + A")'. . . - 1]«.
en observant les conditions prescrites ci-dessus relativement aux caractéristiques A, A', A", ... et à leurs puissances. Cette dernière équation subsiste encore en faisant n négatif, pourvu que l'on change les différences négatives en intégrales.
Supposons
fxi y'xy ... deviendront des fonctions de^', que nous désignerons par yx'fX'x'^ ...; l'équation (n) donnera ainsi la suivante, en observant que les caractéristiques A, A', ... se changent en d, d\ ..., et que l'on a
( I -+- dfx'Y'^' = c ''•*■',
(12) 'A«7u:'7>.rx'--- = \^' ''•'■■ ''"' ''"' -'/>
équation qui subsiste encore en faisant n négatif et changeant les différences négatives en intégrales.
Ne considérons que deux variables y^^ ety'^, et supposons/'^. =/>^";
Or on a généralement, x variant de l'unité,
Ay^z^ p-^{p~- lY;
on aura donc
(i -1- My=:^p'p^.
L'équation (n) deviendra ainsi
{i3) '^''p■^y•■c=:p■^[p^[^-\- ^Yxy—iY',
en faisant n négatif, on aura
a, b, ... étant des constantes arbitraires dues à l'intégration n fois répétée dep^y^c- J'ajoute ici ces constantes au second membre de l'équation précédente, parce qu'elles ne sont implicitement renfermées dans son premier terme que lorsque/? = i .
Si l'on fait dans les deux équations précédentes 0?= ^, ? = -.— , /j = I H- dw' \ogh, on aura
(i5) 'A"h^'xjcf= h^'\h<^c '^•» — i) ,
(i6) 'l"h-^'x^f= -^——^-— + rt'x'«-( + b'x'>'-^- +
Si dans les équations (i3) et (i4) on suppose i infiniment petit et égal à dx, 't^^p^y^ se changera dans d^p^^y^, et 'U^p^^y^ se changera dans , ^^pp^^y^dx"', on aura ensuite
pi[l -{- A7.r)'= c'^x\09[p{i + \y^)].^
on aura donc
{pi[\ -4- ^y-xY- iY=dx" ! log[p(i + Aj.r)] i«,
et les équations (i3) et (i4) deviendront
( 1 8 ) /" p'^Yx dx" ~ - -j — j- -— - — V M,„ + a ;c« - ' -I- 6 jc«+2 ,
