LIVRE PREMIER

suivant les puissances de -7; en changeant donc, dans cette dernière

quantité, -, enp, et nommant P ce qu'elle devient alors, on aura AP/?^',

pour la partie àeyiy qui répond au terme Ap"^'. Il suit de là que, si la valeur de jo,^- est égale à Ap"^' -h A' p"" + A"p"'" -\- ..., et que l'on nomme P', P", ... ce que devient P, en y changeant p dans/?', p", . . . , on aura, pour la partie correspondante de y,-^x',

AP/>-^' -f- A' py-^' + A"P'y'-^' + . . . .

On trouvera pareillement que, si la valeur de j,,a; est exprimée par Bq'"-\-B'q"^'-{-B"q"'"-h ... et si l'on nomme Q, Q', Q", ... ce que devient la quantité

lorsqu'on y change successivement-, en g, q', q'\ . . . , la partie correspondante de ji^a;' sera

BQq^' + B'Q'q'^'-^B"Q"q

et ainsi de suite. La réunion de tous ces termes donnera l'expression de j/,^' la plus simple à laquelle on puisse parvenir.

15. La valeur de y/,a;' donnée par la formule {!) du numéro précédent dépendant de la connaissance de WK' M',''"", ..., il est visible

que ces quantités seront connues, lorsque l'on aura le coefficient de —j

dans le développement de ZJ"'; tout se réduit donc à déterminer ce coefficient. On a, par le n** 5,

aa''+'(a — a)(a'— a").

aa"*+<(a"— a)(a''— a')...

OEuvres de L. — VU.

a, a', a", . . . étant fonctions de -;• Si l'on fait -, = s, et que l'on diffé-

rentie l'expression précédente de Zj"', n fois de suite par rapport à s, on aura, avec l'équation précédente, n -h i équations, au moyen desquelles, en éliminant les puissances indéterminées-^? -7^:^) "^^^TTT' •••»

on parviendra à une équation linéaire entre ZJ"^ —7—' . 2 > • . -, dont

les coefficients seront fonctions de à, a, a", ... et de leurs différentielles prises par rapport ks; or il est clair que a, a', a", ... doivent entrer de la même manière dans ces coefficients, que l'on pourra ainsi obtenir en fonctions rationnelles et entières des coefficients de l'équation qui donne les valeurs de a, a', a", ... et des différences de ces coefficients, et par conséquent en fonctions rationnelles de s. En faisant ensuite disparaître les dénominateurs de ces fonctions, on aura une équation linéaire entre ZJ"' et ses différentielles, équation dont les coefficients seront des fonctions rationnelles et entières de 5. Cela posé,

considérons un terme quelconque de cette équation, tel que ks"" , ' > et nommons V le coefficient de -7^ dans le développement de ZJ°' suivant les puissances de -7; ce coefficient dans le développement de ks"" —j-~ sera

k[r-{- p. — m][r ^ y. — m — i)(r+p. — m — 2). ..(/• — mH- i) V-j-ji-m.

En repassant ainsi des fonctions génératrices à leurs coefficients, l'équation entre Z["' et ses différences donnera une équation entre 1,., V+«> ••• dont les coefficients seront des fonctions rationnelles de r et dont l'intégrale sera la valeur de V.

Il suit de là que l'intégration de toute équation linéaire aux différences finies partielles, dont les coefficients sont constants, dépend : 1° de l'intégration d'une équation linéaire aux différences finies dont les coefficients sont variables; i"^ d'une intégrale définie. L'intégrale définie dont dépend la valeur de j^-^a;- dans la formule (X) est relative à r, et doit s'étendre jusqu'à r = i H- I .