LIVRE PREMIER
(, + 'Ar.,.....)'=(.-.^x%^-)-=.'
dx
c étant toujours le nombre dont le logarithme hyperbolique est l'unité. On aura pareillement
[^-h"^rx.J:',..y=c ^-- ,
et ainsi de suite ; partant
ï«rx,a., ...
X variant de a, a?' de a', ... , dans les deux premiers membres de ces équations.
Si, au lieu de supposer ct infiniment petit, on le suppose égal à l'unité, et «infiniment petit et égal \ dx\ si l'on suppose encore i\ i'\ . . . infiniment petits et respectivement égaux à dx':, dx", . . . , on aura
(i -h 'Ajx, X', ...y = (« + 'A/x, X-, ...Y-^= \-\-dx\o%[\-\- '\yx. X', ...);
on aura pareillement
(H-"Arx,x'. ...Y'=l -h dx' l0g(l 4-"Ar.r,x',...),
D'ailleurs A^y^^^;' se change alors dans d^y^^',...'^ on aura donc
d"rx,x',...= [dx\og{x-{-'Ayj:,x\...) H- dx' log(H-"Aj.r,x',...) + . . .]"»
équation qui, en faisant n négatif, subsiste encore, pourvu que l'on change les différences négatives en intégrales. Ces divers résultats sont analogues à ceux que nous avons trouvés dans le n** 10, relativement aux fonctions d'une seule variable, et l'on y retrouve l'analogie que nous avons observée entre les puissances positives et les différences, et entre les puissances négatives et les intégrales.
Considérations sur le passage du fini à l' infiniment petit.
19. Le passage du fini à l'infiniment petit consiste à négliger les différences infiniment petites par rapport aux quantités finies, et généralement les infiniment petits d'un ordre supérieur relativement à ceux d'un ordre inférieur. Cette omission semble ôter à ce passage la rigueur géométrique; mais, pour se convaincre de son entière exactitude, il suffit de le considérer comme le résultat de la comparaison des puissances homogènes d'une variable indéterminée, dans le développement des termes d'une équation qui subsiste, quelle que soit cette indéterminée; car il est clair que les termes affectés de la même puissance doivent se détruire mutuellement.
Pour rendre cela sensible par un exemple, considérons l'équation suivante que donne l'équation (q) du n° 10, en y faisant ti = i,
'A est la caractéristique des différences finies, x' variant de a, et d est la caractéristique des différences, x' variant de dx'. L'équation précédente développée donne, en appliquant, conformément à l'analyse du ni^méro cité, les exposants des puissances de dy^' à la caractéristique d,
, / A «S' j «^ — <3c dx' ,„
Ar. = j^ dr. + -77^:^^^ d^rr + ■■■;
c?Xj.' est égal 3Lya;'+dx'—yx'' Supposons qu'en développant la fonction de x' -{- dx\ représentée par j^^^^', on ait
Yjif+dx' = yx' + dx'y'^, + dx'^Zx'-\-.-.;
on aura
dyx' = dx'y'^, + dx'^ z^- ^- • ■ . ,
d'où l'on tire
d^yj. = dx' dy'^, -h dx'^ dzx' +
Développons pareillement y'x'+dx'y ^x+dx'y • • • suivant les puissances
de dx' , et supposons que l'on ait
Zx'+dx' = ^x' "+■ d^ ^x' + • • • >
on aura
partant
d/x' = dx'f^, H- dx"^sjf dzx'=^ dx'z'^, +. . .,
d^y-jf = dx'^xl, -h dx'^sjcf-h. .. -\- dx'^ z'^,-\-
L'expression précédente de '^yx' deviendra ainsi
'^Taf = ccy-x' + -, 7^ fx< + • • •
-^ dx' { + «2 ( Sj;/ + 2'^, 4- . . /
^dx'-^...,
dx' étant indéterminé; les termes indépendants de dx' doivent être égalés séparément entre eux; on a donc
Maintenant jV est le coefficient de dx' dans le développement de yx+dx'^ c'est ce que l'on désigne dans le Calcul différentiel par —j- Pareillement jV est le coefficient de dx' dans le développement de
dy fl 2 y* ; ...
y'x'+dx'''> c'est ce que l'on désigne par ^4'' ou par .^^ > et ainsi de
suite; en substituant donc, dans l'équation précédente, yx+i — yx »u lieu de 'Ajk^', on aura le théorème suivant :
•^ -^ dx' 1.2 dx^ 1.2.3 </j7 3
Considéré comme résultat de la comparaison des termes indépendants
dedx', ce théorème ne laisse aucun doute sur son exactitude rigoureuse, et il est visible par l'analyse précédente que cette comparaison revient à négliger les termes multipliés par dx' et ses puissances, relativement aux quantités finies; cette omission n'ôte donc rien à la rigueur du Calcul différentiel. Mais on voit de plus, a priori, que les termes affectés de la même puissance de l'indéterminée dœ' doivent se détruire mutuellement, ce que l'on peut vérifier a posteriori. Ainsi ce que l'on néglige comme infiniment petit est rigoureusement nul, en sortaque l'omission des infiniment petits, relativement aux quantités finies, n'est au fond qu'un moyen facile d'éliminer les termes superflus qui doivent disparaître dans le résultat final.
'Ce rapprochement du Calcul aux différences finies et du Calcul différentiel met en évidence la rigueur des résultats de ce dernier calcul, et donne sa vraie métaphysique ; mais ses applications à l'étendue, à la durée et au mouvement supposent de plus le principe des limites. On peut, par un rapprochement semblable, éclaircir divers points de l'Analyse infinitésimale, qui ont été des sujets de contestation parmi les géomètres : telle est la discontinuité des fonctions arjjitraires dans les intégrales des équations aux différences partielles. Ceux qui ont rejeté cette discontinuité se fondaient sur ce que l'analyse ordinaire des différences infiniment petites suppose que les différentielles successives d'une fonction doivent être infiniment petites relativement aux précédentes, ce qui n'a point lieu lorsque la fonction est discontinue. Pour éclaircir cette question délicate, il faut la considérer dans les différences finies, et observer ce qui arrive dans le passage de ces différences aux différences infiniment petites.
Prenons pour exemple l'équation suivante aux différences finies partielles :
son équation génératrice est, par le n<^ 16,
