LIVRE PREMIER

et, en suivant l'analyse donnée précédemment, il est facile d'en conclure que l'intégrale complète de l'équation proposée (a) est

<f{x ■+- a/) étant une fonction arbitraire de a? + œ\ et ^{x — a/) étant une fonction arbitraire de x — x' . 11 est facile d'ailleurs de s'assurer que cette valeur satisfait à la proposée, et qu'elle en est l'intégrale complète, puisqu'elle renferme deux fonctions arbitraires. Supposons présentement que, dans la Table suivante

JO.O. Jt.O» J2,0> 73,0,

ro.i» 7».0 Ti.\y T3.1,

J0,2, Jl,2, J'2,2, 73,2,

Jo,«> T<,«> J2,«, 73,«,

> 7rt-l.2, 7«.2,

on connaisse les deux premiers rangs horizontaux compris entre les deux colonnes verticales extrêmes

Jo.o, Jo, 1, 70,2, •••, 7o,«>

J«.0, Xn,\, fn.li '•', Xn."*

et que l'on connaisse de plus tous les termes de ces deux colonnes ; on pourra déterminer toutes les valeurs de y^-.x' qui tombent entre ces colonnes. Car, si l'on veut former le troisième rang horizontal, on observera que l'équation {a) donne

fx, jc+i = ja+» , jc -t- yx- i .x" — yx. x'-\ •

En faisant, dans cette dernière équation, ir'=i, et successivement ir = i,^ = 2, 07 = 3, ..., x = n — i,on aura les valeurs deJ'^,2> J2.2» 73,2» ••• > J/2-1,2» ou le troisième rang horizontal, au moyen des deux premiers rangs horizontaux. On formera de la même manière le quatrième rang horizontal, et ainsi de suite à l'infini. Mais, si l'on veut déterminer les valeurs de j^,^', qui tombent hors de la Table (Z), les conditions précédentes ne suffisent pas, et il faut leur en ajouter d'autres.

Œuvres de L.— mi. 10

Reprenons l'intégrale

et supposons que le second rang horizontal, qui détermine une des deux fonctions arbitraires, soit tel que l'on ait

on aura

^[x — x') = (^{x — x'); yx,x'=<{>{x + x') +(ç>{x — x').

En faisant x' = o, on a

(f{x)=-^Xx,o;

partant

Il est facile de voir que cette équation satisfait à l'équation proposée («); mais elle n'en est qu'une intégrale particulière, qui répond au cas où le second rang horizontal se forme du premier, au moyen de l'équation

Tant que x + x' sera égal ou moindre que tî, et que x — x' sera positif ou nul, on aura la valeur de j^^.a/ au moyen du premier rang horizontal. Mais, lorsque, x croissant, x -\-x' deviendra plus grand que n, ou lorsque x — xf deviendra négatif, il faudra déterminer les valeurs de yx+x',0 et de yx-af.o au moyen des deux colonnes verticales extrêmes. Supposons que tous les termes de ces colonnes soient nuls, et que l'on ait ainsi jo,a/= o etj„,a;' = o. En faisant x nul dans l'équation

Xx, X' = 1 J^-f-.c'.o H- ^Xx-x-,0,

on aura

y-x',o = —Xx',o.

En faisant ensuite x =^n dans la même équation, on aura

Xn+x', 0 =^ — Xn—x', 0'

Si l'on change ensuite, dans cette dernière équation, x' en n +x', on aura