LIVRE PREMIER

en changeant encore x' dans n -\- x', on aura

et généralement on aura

Xirn+.V, 0 == ^V, 0> /( 2/-+ 1 }«-Kr', 0 = — T'i-x', 0 .

On pourra ainsi, au moyen de ces deux équations, continuer les valeurs de jar,^/ à l'infini, du côté des valeurs positives de x, et l'on en conclura celles qui répondent à x négatif, au moyen de l'équation

De là résulte la construction suivante. Représentons les valeurs de j^-.o» depuis X = o jusqu'à x = n, par les ordonnées menées aux angles d'un polygone dont l'abscisse soit x, et dont les deux extrémités, que je désigne par A et B, aboutissent aux points où x = o et x = n. On portera ce polygone depuis x =^n jusqu'à x =zin, en lui donnant une position contraire à celle qu'il avait depuis a? = o jusqu'à j? = /î, c'est-à-dire une position telle que les parties qui étaient au-dessus de l'axe des abscisses x se trouvent au-dessous, le point B restant d'ailleurs dans cette seconde position, à la même place que dans la première, et le point A répondant ainsi à l'abscisse x = 2n. On placera ensuite ce même polygone depuis x = 2n jusqu'à x = 3n, en lui donnant une position contraire à la seconde et par conséquent semblable à la première, de manière que le point A, dans cette troisième position, conserve la place qu'il avait dans la seconde, et qu'ainsi le point B réponde à l'abscisse x = 3n. En continuant de placer ainsi ce polygone alternativement au-dessus et au-dessous de l'axe des abscisses, les ordonnées menées aux angles de cette suite de polygones seront les valeurs de j^o qui répondent à x positif.

Pareillement, on placera ce polygone depuis x — o jusqu'à x = — n, en lui donnant une position contraire à celle qu'il avait depuis x = o jusqu'à X = n, A restant d'ailleurs à la même place dans ces deux positions. On placera ensuite ce polygone depuis x = — n jusqu'à

X = — 2/1, en lui donnant une position contraire à la seconde, le point B conservant la même place, et ainsi de suite à l'infini. Les ordonnées de ces polygones représentent les valeurs de j^ ^ qui répondent à x négatif. On aura ensuite la valeur de y^^^ en prenant la demi-somme des deux ordonnées qui répondent aux abscisses x ■+■ œ' et X — x'.

Cette construction géométrique est générale, quelle que soit la nature du polygone que nous venons de considérer. Elle servira à déterminer toutes les valeurs de y^y comprises depuis x = o jusqu'à x = n, et depuis x'=o jusqu'à x'='x>^ pourvu que l'on ait j^ 3^ = 0 et yny= o, et que d'ailleurs le second rang horizontal de la Table (Z) soit tel, que l'on ait

On a, par ce qui précède, de plus,

7'jr+.r-(-rt,0=^ — yn-x-x',Oy ^jr^x'— «,0=^ — yn—x+x',oi

donc

yx,x-^n "^^^ ^y'n-x~x\ o — 2X11— x+x', 0= — Xn-x, x'-

Il suit de là que, dans la Table (Z), le (/n-o:')'^"^ rang horizontal est le ^'ième j.j^j^g ppjg j^yg^. yj^ siguc coutrairc et dans un ordre renversé, en sorte que le terme r^^™* du rang [n-^x')^^°^^ est le même que le terme [n — r)'^"^^ du a?'*^™^ rang pris avec un signe contraire. On a ensuite

on a d'ailleurs, par ce qui précède,

X2n+x+x'. 0 ^=Xx-hx', 0> Xx-x-2R, 0 = — jr2«+j:-jr. 0 = — Jj:'-x = /.c-a;' î

partant

Xn, 2n+x' = ^ Jx+jr', 0 + uX^-^'. 0 = X-^,-^»

d'où il suit que le (2/1 -+- a?')'^'""' rang horizontal est exactement égal au