CHAPITRE PREMIER

DE L INTÉGRATION PAR APPROXIMATICN DES DIFFERENTIELLES QUI RENFERMENT DES FACTEURS ÉLEVÉS A DE GRANDES PUISSANCES.

22. On vient de voir que l'on peut toujours ramener à l'intégration de semblables différentielles les formules données par la théorie des fonctions génératrices. Nous allons donc nous occuper d'abord avec étendue de l'approximation de ce genre d'intégrales.

Si l'on désigne par u, u\ u", ... et cp des fonctions quelconques de x, et par s, s', s", ... de très grands nombres, toute fonction différentielle qui renferme des fonctions élevées à de grandes puissances sera comprise dans le terme cp dxu^ii^' u!'^" . . . . Pour avoir en série convergente son intégrale prise depuis x = o jusqu'à a? = 0, on fera

et en désignant par Y ce que devient y lorsqu'on y change x en 6, on supposera

c étant toujours le nombre dont le logarithme hyperbolique est l'unité.

On aura ainsi

/ = log-.

Œuvres de L. — VII. 12

Si l'on considères comme une fonction de t donnée par cette équation, on aura, en supposant </^ constant,

dx P d^x t^ d^x

dt 1.2 dt^ 1.2.3 dt^

t devant être supposé nul après les différentiations, dans les valeurs de

dx d- X

-— ) -TV» On a généralement

dt dt- ^

d"x 1,1,1 , dx

dt'' dt dt dt dt

la caractéristique différentielle se rapportant à tout ce qui la suit, etdt pouvant varier d'une manière quelconque dans le second membre de cette équation; de plus, si l'on différentie l'expression précédente de t

en j, et si l'on désigne — — — par u, on aura dt^= — ; on aura donc

d'^x V d V dv. . . dv

'dF' ~ dx"-^ '

doo étant supposé constant dans le second membre de cette équation.

Ainsi, en nommant U ce que devient u lorsqu'on y change x en 9, la va-

leur de -j— qui répond à a; = 6, ou, ce qui revient au même, à ^ = o,

sera égale à

[]d\]dl]...d\]^

dB''-' '

on aura donc

d'où l'on tire

U<^U , UrfUrfU ,

+ Uf+ j-.t^^ ï-^7ûi^' +

i.2.d6 i.i.Z.dQ^

dx = \]dt[i-\--^t-\ ^„ /2

dB 1.2. d02

par conséquent V

Si l'on prend l'intégrale depuis t = o jusqu'à t infini, on aura généralement

/Frffc-^— 1.2.3... n;