LIVRE PREMIER

partant

l'intégrale relative à x étant prise depuis ^r = 6 jusqu'à la valeur de x qui répond à t infini.

Nommons Y' et U' ce que deviennent j et u lorsqu'on y change x en 0' ; on aura pareillement

^ - ,„,„/ dV dV'dV d.\]'dU'd\J' \

l'intégrale relative à ce' étant prise depuis a? = ô' jusqu'à la valeur de œ qui répond à t infini. En retranchant donc ces deux équations l'une de l'autre, on aura

d.VdVdU

dd^ dV dV'dW d.V'dV'dl]'

dB' dB'^ dB'-i

l'intégrale relative à x étant prise depuis a? = 6 jusqu'à x = Ô', en sorte que la considération de t disparait dans cette formule. Si 6 et 6' étaient primitivement renfermés dans y, il ne faudrait faire varier que les quantités 6 et 6' qu'introduisent dans U et U', les changements de x en 6 et 9' dans la fonction u.

La formule (A) sera très convergente, si u ou — — r— est une très

petite quantité; or y étant, par la supposition, égal à a^u^u'^'u"^", . . . ,

on a

s du s' du' s" du" I do

u dx u' dx' u" dx ' ' ' <p dx

Ainsi, dans le cas où s, s', s", . . . sont de très grands nombres, u sera fort petit, et si l'on fait - = a, a étant une fraction très petite, la fonction u sera de l'ordre a, et les termes successifs de la formule (A) seront respectivement des ordres a, a", a',

Cette formule cesserait d'être convergente, si la supposition de^ = 9 rendait très petit le dénominateur de l'expression de u. Supposons, par exemple, que [a- — aY soit un facteur de ce dénominateur; il est clair que les termes successifs de la formule (A) sont respectivement divisés par (e -af, (6 - a)-^^\ (6 — a)'l^^^ ..., et deviendront très considérables, si 6 est peu différent de a; la convergence de cette formule exige donc que (6 — ay, (6' — a)^ soient plus grands que a; elle ne peut conséquemment être employée dans l'intervalle où {œ — a)^ est égal ou moindre que a; mais, dans ce cas, on pourra faire usage de la méthode suivante.

23. Si l'on nomme Y ce que devient r lorsqu'on y change x en a, il

est visible que (^— ci)^ étant un facteur de ^i ou, ce qui revient

«?log- Y

au même, de - .— - > {x — a)"^"^' sera un facteur de log- • Soit donc

:iogY-iog/)i^-^»

on aura

X zrz a -\- vt.

U ne devenant point infini par la supposition A^ x = a. Si l'on désigne ensuite par U, -t— > —v-^ •> ... ce que deviennent u, ^- > ^-^ » . . . , lorsqu'on y change a? en a après les différentiations, on aura, par la formule (/?) du n** 21 du Livre II de la Mécanique céleste,

rfU2 , rf2U3 ,

\ .•i..ax 1.2.3 dx^

ce qui donne

(B) /^rf. = Y/rf<o-<-(u-H'^3^/ + ^;^^^,/= + ,..);

cette formule pourra être employée dans tout l'intervalle où x diffère très peu de a\ elle peut conséquemment servir de supplément à la for-