LIVRE PREMIER

la formule (B) du numéro précédent deviendra

, 1.1. dx'^ ii 1 .1.3. . .(2/ -+- 2) r:/ar2'+3

</2t-2XJ2l-l 2/— I J*'-2 [J*«-l

, 1,2.3(2/ — 1) dx-^'^ 2/ i.2.3...(4i — i]dx^^~'^

;2i — l)(4ï — l) ûf6t-2U6^-l

Cette formule est la somme d'un nombre i de suites différentes, dé-

croissantes comme les puissances de a, puisque U est de l'ordre câ\ et multipliées respectivement par les transcendantes ky k^*\ ... , qu'il est, par conséquent, important de connaître; mais il suffit pour cela d'en

connaître un nombre égal au plus grand nombre entier compris dans - •

Considérons pour cela la double intégrale

les intégrales étant prises depuis 5 et a; nuls jusqu'à leurs valeurs infinies. En l'intégrant d'abord par rapport à s, elle se réduit à

dx

mais cette dernière intégrale est 5 n étant un nombre quelconque

n sin n

entier ou fractionnaire; on a donc

ffdsdxc-'^'^^''^=- ^

/ismn

Intégrons maintenant cette double intégrale, d'abord par rapport à x.

En faisant ^a^"= ;", elle devient

s" et si l'on fait 5 = f', on aura

n sm -

les intégrales étant prises depuis t nul jusqu'à / infini. Si l'on change n en — --, cette équation devient

n^fdtc-'''^'fr-^' dtc

sin ——n

et si dans cette nouvelle équation on change t en f'* , on aura (T) n^ft'-^dtc-'''ft''-'-dlc-''' =

Sin - — — 7r

On aura, au moyen de cette formule, en y faisant n = ii, toutes les valeurs de k, k^^\ ... , 0~*\ lorsque l'on en connaîtra la moitié, si i est pair, ou la moitié moins un demi, si i est impair.

En faisant n -- 2 et r= 2, cette formule donne ce résultat remarquable

fdtc-" = ^^/n.

25. On peut, en vertu de la généralité de l'analyse, étendre les résultats précédents au cas où t est imaginaire. Considérons l'intégrale fdx cosra^c""'^', prise depuis œ nul jusqu'à x infini. On peut la mettre sous cette forme

^fdx c- «' *' +'-^ f^' -h ^Jdx c «' =c^-rxfri L'intégrale fdx <j-«'->^*+'^/-i ^gt égale à

r» / rj/^\*

C ''"'fdxc ^""^ ~8« '' .