LIVRE PREMIER

Si l'on fait

l =: ax — — )

elle devient

ici l'intégrale relative à t doit être prise depuis t — — ~ — ^- jusqu'à /

infini, parce que ces deux limites répondent à x nul et à ^r infini.

En faisant r négatif dans cette formule, on aura l'expression de l'intégrale /û^îpc"''''^'"''''^^'; mais, dans ce cas, les limites de l'intégrale relative à / sont t = — - — ^ et / infini ; la réunion de ces deux intégrales est donc égale à

l'intégrale étant prise depuis ^ = — co jusqu'à / = œ ; car la première intégrale ajoute à la seconde ce qui lui manque pour former la moitié de l'intégrale prise entre les deux limites infinies; or cette dernière in-

téerale est -—•. on a donc

"^ ia

L'analyse qui vient de nous conduire à ce résultat est fondée sur le passage du réel à l'imaginaire; car on y traite les intégrales relatives à ^ et prises entre deux limites, dont une est imaginaire et l'autre est infinie, comme si ces limites étaient toutes réelles. Mais on peut parvenir à ce résultat de la manière suivante.

Nommons j l'intégrale Jdx cos/a^.c "'*', prise depuis x nul jusqu'à x infini; on aura

dy I r

-f ^=~ fxdxm\rx .c'"*'^ =: — -sinror.c""'''' fdxcosrx.c'"''^^:

dr -^ na^ -xa^"^

OEuvresde L. — Vir. 13

on aura donc, en prenant l'intégrale depuis x nul jusqu'à x infini,

dr r dr la^''

L'intégrale de cette équation est

B étant une constante arbitraire que l'on déterminera en observant que, rétant nul, on a

Cette dernière intégrale est, par le numéro précédent, — ; donc B == — ; par conséquent

ce qui est conforme au résultat trouvé ci-dessus par le passage du réel à l'imaginaire.

En différentiant 'in fois par rapport à r, on aura

i/tt d^" --—

le signe -h ayant lieu si n est pair, et le signe — si n est impair. Cette dernière équation, différentiée par rapport à r, donne

En intégrant une fois par rapport à r l'expression de fdxcosrx.c~'''''\

Çdxsinrx ^„,,,^ ^lfdrc'^\

Lorsque a est nul, -devient infini, et l'intégrale \ —c *"*, prise depuis r nul, devient \^r^\ donc

dx sin rx tt